§ 4. Цилиндрическая система координат

В пространстве E³ введем дополнительную структуру:

1) Зафиксируем произвольную точку O;

2) Зафиксируем луч l с началом в точке O;

3) Зафиксируем плоскость a, содержащую луч l;

4) Зафиксируем полуплоскость a’ - одну из двух полуплоскостей, на которые плоскость a делит прямая, содержащая луч l;

5) Зафиксируем полупространство П - одно из двух полупространств, на которые плоскость a делит пространство.

Фиксированное полупространство П назовем положительным полупространством.

Итак, мы зафиксировали упорядоченный набор (O,l,a,a’,П).

В дальнейшем нам удобно будет так же фиксировать прямую, проходящую через точку O (такая прямая существует, и при том только одна), назовем ее осью (Oz). Точка O делит ось (Oz) на два луча, то луч который содержится в положительном полупространстве назовем положительным лучом оси (Oz). Ясно, что если фиксирован набор (O,l,a,П), то однозначно определена ось (Oz) и ее положительный луч.

В плоскости  введем полярную систему координат v_, на оси (Oz) - декартову систему координат _z.

РИС 13 (1,2)

Определим отображение : E³ \ (Oz)  (0, +)[0,2)R по следующей формуле:

v (A) = (, , z) (*),

где (,) = v_a (A’) и A’ - проекция точки A на плоскость ,

z = w_z (A_z) и A_z - проекция точки A на ось (Oz).

Замечания.

1) Как мы видим, из пространства исключена ось (Oz). Действительно, если точка A лежит на оси (Oz), то ее проекция на плоскость  - это точка O, для которой не определены полярные координаты.

2) Геометрически, |z| для точки A - это расстояние от этой точки до плоскости , при этом z > 0, если точка A лежит в фиксированном полупространстве П, и z  0 в противном случае.

Определение. Отображение v (*) будем называть цилиндрической системой координат в пространстве.

Определение. Числа r , j и z такие, что v (A) = (r, j, z) будем называть цилиндрическими координатами точки A.

Обозначение: в дальнейшем будем употреблять более распространенное обозначение, и вместо v (A) = (r, j, z) будем писать A(r,j,z).

Теорема. Цилиндрическая система координат - это биективное отображение.

Доказательство (провести самостоятельно).

Замечание.

В цилиндрической системе координат координатные поверхности  = const - это круговые цилиндры с осью (Oz), координатные поверхности  = const - это перпендикулярные плоскости  полуплоскости с границей (Oz), координатные поверхности z = const - это плоскости параллельные плоскости  или сама плоскость .

Теорема. (О взаимосвязи декартовых и цилиндрических координат точки).

Пусть в пространстве введены цилиндрическая и декартова системы координат так, начало декартовой системы координат - это фиксированная точка цилиндрической системы координат, полярная ось l совпадает с положительным лучом оси (Ox), полуплоскость a’ содержит положительный луч оси (Oy), а оси (Oz) систем координат совпадают.

Тогда для любой точки плоскости (кроме точек на оси (Oz)) ее декартовы координаты (x,y,z) выражаются через ее цилиндрические координаты (,,z) по следующим формулам: x =  cos , y =  sin , z = z, при этом ² = x² + y².

Доказательство (аналогично случаю полярной системы координат).