§ 3. Полярная система координат

На плоскости E² введем дополнительную структуру:

1) Зафиксируем произвольную точку O;

2) Зафиксируем луч l с началом в точке O;

3) Зафиксируем полуплоскость  - одну из двух полуплоскостей, на которые делит плоскость прямая, содержащая луч l.

В пространстве E³ введем дополнительную структуру:

Итак, мы зафиксировали упорядоченный набор (O,l,a).

Определим отображение : E² \ O  (0, +)[0,2) по следующей формуле:

v (A) = (, ) (*),

где  = |OA|,  - радианная мера угла (l,OA)(отложенного от луча l, в полуплоскость )

Напомним, что отложить угол от луча l в полуплоскость  означает найти угол равный данному такой, что одна из его сторон - это луч l, и

- если этот угол меньше развернутого угла, то его внутренность содержится в полуплоскости ,

- если этот угол больше развернутого угла, то его внутренность содержит полуплоскость .

РИС 11 (1,2)

Замечания.

(1) Как мы видим, из плоскости исключена точка O. Действительно, если точка A совпадает с точкой O, то не определен луч OA, и не ясно каким должно быть число .

(2) Множество значений функции v волне понятно, так как для любой точки A плоскости E² (кроме точки O) |OA| > 0 и мера угла (l,OA) - это число  такое, что 0   < 2p.

(3) Иногда множество значений функции v рассматривают другое,

например, (0, +¥)´[-,p).

Существует еще понятие расширенной полярной системы координат, для которой значение  может быть отрицательным.

Определение. Отображение v (*) будем называть полярной системой координат на плоскости.

Определение. Фиксированную точку O будем называть полюсом, фиксированный луч l - полярной осью.

Замечание. Часто под полярной системой координат понимают фиксированную на плоскости структуру ( то есть полюс, полярную ось, и полуплоскость, в которую откладываются углы).

Определение. Числа r и j такие, что v (A) = (r, j) будем называть полярными координатами точки A.

Обозначение: в дальнейшем будем употреблять более распространенное обозначение, и вместо v (A) = (r, j) будем писать A(r,j).

Теорема. Полярная система координат - это биективное отображение.

Доказательство.

1) Инъективность отображения v.

Пусть точки A, B Î E² \ O таковы, что v (A) = v (B) = (,) (то есть полярные координаты точек совпадают), докажем, что точки A и B совпадают.

Так как вторые координаты точек A и B совпадают, то углы (l, OA) и (l, OB) равны, тогда лучи OA и OB совпадают (то есть точки A и B лежат на одно луче с началом в точке O).

Так как первые координаты точек A и B совпадают, то |OA| = |OB|.

Итак, точки A и B лежат на одном луче, и удалены на одно и то де расстояние от начала этого луча, значит, они совпадают.

2) Сюрьективность отображения v.

Пусть числа  и  таковы, что  > 0 и 0   < 2, найдем такую точку A Î E² \ O, что v (A) = (,).

Отложим от луча l в полуплоскость  угол (l,m) , мера которого равна .

На луче m от его начала отложим отрезок длины , конец отрезка отличный от точки O назовем A.

Так как |OA| = , и угол (l,OA) совпадает с углом (l,m), мера которого , то v (A) = (,).

Замечание.

Координатными линиями в некоторой системе координат на плоскости называют линии, которые задаются уравнениями вида: одна из координат равна константе. В декартовой системе координат это линии, которые задаются уравнениями x = const или y = const, то есть это линии параллельные координатным осям; и через каждую точку плоскости проходит ровно две координатные линии: одна x = const, другая y = const. В полярной системе координат координатные линии  = const - это окружности с центром в точке O, а координатные линии  = const - это лучи с началом в точке O (без точки O); и через каждую точку плоскости (кроме точки O) проходит ровно две координатные линии: одна  = const, другая  = const.

Теорема. (О взаимосвязи декартовых и полярных координат точки).

Пусть на плоскости введены полярная и декартова системы координат так, что полюс полярной системы координат - это начало декартовой системы координат, полярная ось l совпадает с положительным лучом оси (Ox), фиксированная полуплоскость  содержит положительный луч оси (Oy).

Тогда для любой точки плоскости (кроме точки O) ее декартовы координаты (x,y) выражаются через ее полярные координаты (,) по следующим формулам:

x =  cos , y =  sin , при этом ² = x² + y².

Доказательство.

Возьмем произвольную точку A  E² \ O, и пусть A(x,y) и A(,).

Точка A лежит на окружности радиуса  с центром в начале координат.

Рассмотрим проекции точки A на координатные оси декартовой системы координат - точки A_x и A_y.

РИС 12

По определению тригонометрических функций координата точки A_x на оси (Ox) будет равна cos, а координата точки A_y будет равна sin, то есть x = r cos j, y = r sin j.

В силу последних двух равенств равенство r² = x² + y²очевидно.

Упражнения.

(1) Выразите вторую полярную координату  через декартовы координаты x и y, если выполнены условия предыдущей теоремы.

(2) На плоскости дан правильный шестиугольник ABCDEF. Определите полярные координаты всех вершин этого шестиугольника, если полюс полярной системы координат - это точка A, а полярная ось - луч [AC).

(3) Постройте множество точек, заданное в полярной системе координат уравнением:

1.  = 2 cos;	5. 2 -2cos = 0;
2.  = a sin 3 (a>0);	6.  2 -  cos + 4sin = 0;
3.  = a  (a > 0, здесь   0);	7. 2 - 4 + 5 = 0;
4.  = 2a cos  b (a > 0, b > 0);	8. cos  = -3.

(4) На плоскости задана полярная система координат. Постройте точки A, B и C. Определите, является ли D ABC прямоугольным, и вычислите его площадь, если

A(2 ; ), B( ; ), С(4+ , ).

(5) Вывести формулу для вычисления расстояния между точками в полярных координатах.