1.2. Декартова система координат на плоскости
Введем на плоскости E2 дополнительную структуру ():
1) Зафиксируем произвольную точку O Î E2;
2) Зафиксируем упорядоченную пару взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке O.
3) На каждой из двух фиксированных прямых выберем один из двух лучей, на которые точка O разделила эту прямую, и назовем его положительным лучом.
На каждой из фиксированных прямых определена декартова система координат с началом координат в точке O, то есть для каждой точки лежащей на первой или на второй прямой однозначно определено число по правилу, описанному в пункте 1.1.
Обозначим декартову систему координат на первой прямой x, декартову систему координат на второй прямой y.
Итак, мы зафиксировали упорядоченный набор (O,x+,y+).
Определим отображение w: E2 ® R2 по следующей формуле:
w(A) = (x,y), где x = x(Ax), Ax - проекция точки A на первую прямую,
y = wy(Ay), Ay - проекция точки A на вторую прямую (ðð).
РИС. 2
Определение. Отображение w (ðð) будем назвать декартовой системой координат на плоскости.
Определение. Упорядоченную пару чисел (x, y) Î R2 такую, что w(A) = (x, y) будем назвать координатами точки A в системе координат w.
Определение. Фиксированную точку O будем называть началом координат.
Определение. Две фиксированные прямые в данной структуре будем называть координатными осями. Первую прямую в данной фиксированной структуре будем назвать осью (Ox) или осью абсцисс, вторую прямую - осью (Oy) или осью ординат.
Первую координату точки будем назвать абсциссой точки, вторую координату точки будем назвать ординатой точки.
Замечание. Иногда декартовой системой координат называют фиксированную на плоскости структуру (ð).
Теорема. Декартова система координат на плоскости - это биективное отображение.
Доказательство.
1) Инъективность отображения w.
Пусть точки A, B Î E2 таковы, что w(A) = w(B).
Так как совпадают абсциссы точек, то wx(Ax) = wx(Bx) и точки Ax и Bx совпадают (так как wx- инъективна). Так как совпадают ординаты точек, то wy(Ay) = wy(By) и точки Ay и By совпадают (так как wy - инъективна). Значит, совпадают и точки A и B. (каждая из них - это пересечение одной и той же пары перпендикулярных прямых).
2) Сюрьективность отображения w.
Пусть (x, y) Î R2 , найдем такую точку A Î E2, что w(A) = (x, y).
Существует точка Ax (Ox) такая, что wx(Ax) = x, и существует точка Ay Î (Oy) такая, что wy(Ay) = y (так как отображения wx и wy сюрьективны).
Проведем прямую p1 через точку Ax перпендикулярную прямой (Ox), через точку Ay - прямую p2 перпендикулярную прямой (Oy). Точка A - это точка пересечения прямых p1 и p2.
Замечание. Так как w - это биективное отображение, то оно обратимо, то есть для каждой пары действительных чисел существует ровно одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.
Обозначение: вместо записи w(A) = (x, y) мы будем употреблять более распространенную запись A(x, y).