§ 16. Изменение координат точки при переходе из одной аффинной системы координат в другую аффинную систему координат

Пусть в Eⁿ заданы две аффинные системы координат:

«старая»  = (O, ) и «новая» ’ = (O’, ’).

Координаты точки M Eⁿ

в системе координат  M ( )_, то есть = ;

в системе координат ’ M ( ’)_’, то есть = ’ ’.

Координаты точки O’ в системе координат  O’( )_, то есть = .

Пусть A – матрица перехода от базиса к базису ’. Тогда = ’ ’= A ’.

Так как = + , то = + A ’ = ( + A ’) и,

соответственно, = A ’ +

Определение. Матрицу перехода от базиса к базису ’ будем называть матрицей перехода от системы координат  к системе координат ’.

Итак, мы доказали следующую теорему:

Теорема. Пусть (O, ) и (O’, ’) – аффинные системы координат в Eⁿ, A – матрица перехода от системы координат  к системе координат ’. Тогда для любой точки из Eⁿ справедливо равенство = A ’ + , где – координаты этой точки в системе координат , ’- координаты этой точки в системе координат ’, - координаты точки O’ в системе координат .

Примеры.

1) Рассмотрим две аффинные системы координат  = (O, )

и ’ = (O’, ) (системы координат отличаются лишь выбором начала координат; в таком случае, говорят о параллельном переносе системы координат на вектор ).

Матрица перехода от  к ’ – это единичная матрица, поэтому формулы преобразования координат будут выглядеть следующим образом:

= ’+ , где - координаты точки O’ в системе координат .

Тогда ’ = - .

Например, уравнение окружности (x – 1)² + (y + 3)² = 1, заданной в декартовой системе координат (O, ), при переходе в новую декартову систему координат с началом в точке O’ (1,-3) и тем же базисом, примет вид: x’² + y’² = 1.

Преобразования координат при этом будут выглядеть следующим образом: .

РИС. 27

2) Рассмотрим две декартовы системы координат на плоскости:  = (O, ) и ’ = (O, ’), такие, что их начала координат совпадают, а вектор составляет с вектором угол  (i = 1,2) (см. рис. 28). В таком случае говорят о повороте системы координат вокруг начала на угол .

РИС. 28

Найдем матрицу перехода от  к ’, для этого вычислим координаты векторов ’ в базисе : , то есть матрица перехода A = .

Итак, .

Формулы обратного перехода (от  к ’) можно получить, заменив  на (-):

, так что B = - матрица перехода от ’ к .

Можно проверить, что AB = = E.

Упражнения.

1. Напишите формулы преобразования декартовых координат на плоскости, которые соответствуют повороту вокруг начала координат на угол: (1)  = ; (2)  = .

2. Некоторое множество в декартовой системе координат на плоскости задается уравнением xy = 1. Каким уравнением это множество будет задано в системе координат, которая получена из «старой» системы поворотом вокруг начала координат на угол ?

3. Напишите формулы преобразования координат для декартовой системы координат на плоскости, при симметрии относительно прямой (1) y = 0; (2) y = x.