4.2. Определитель квадратной матрицы.

Пусть A – квадратная матрица размера n, то есть A  M_n (n  N).

Определение. Определителем матрицы A (определителем порядка n) будем назвать число (или буквенное выражение), которое вычисляется по следующему правилу:

Порядок		Формула
n = 2	det A	= =
n = 3		= =
…

Обозначение: det A или |A|

Замечание.

Для вычисления определителей порядка 2 и 3 существует удобная графическая схема:

n = 2	+ -
n = 3	+ + + - - -

Теорема. (О мультипликативности определителя).

Пусть A, B  M_n. Тогда det (AB) = det A det B.

Доказательство.

Для случаев n = 2,3 проверить самостоятельно.

§ 15. Изменение координат вектора при смене базиса

Vⁿ

Пусть e₁, e₂, …, e_n и e₁’, e₂’, …, e_n’ – два базиса пространства Vⁿ.

Для вектора определены координаты в базисе : = , и в базисе ’: = ’ ’, где

= , = (e₁ e₂ … e_n), ’= , ’= (e₁’ e₂’ … e_n’)

Для векторов e₁’, e₂’, …, e_n’ определим координаты в базисе e₁, e₂, …, e_n:

e₁’ = a₁₁ e₁ + a₂₁ e₂ +…a_n1 e_n

e₂’ = a₂₁ e₁ + a₂₂ e₂ +…a_2n e_n

…

e_n’ = a_n1 e₁ + a_n2 e₂ +…a_nn e_n, то есть ’ = A, где A = .

Определение. Матрицу A будем называть матрицей перехода от базиса к базису ’.

Столбцы в матрице перехода от базиса к базису ’ – это координаты векторов e₁’, e₂’, …, e_n’ в базисе .

Итак, = ’ ’= ( A) ’, то есть = (A ’) и = A ’ .

Таким образом мы доказали следующую теорему:

Теорема. Пусть и ’ – базисы пространства Vⁿ, A – матрица перехода от базиса к базису ’. Тогда для любого вектора из пространства Vⁿ справедливо равенство = A ’, где – координаты этого вектора в базисе , ’- координаты вектора в базисе ’.

Пример.

Матрица перехода от базиса к базису единичная, то есть E = .

Лемма. Если A матрица перехода от базиса к базису ’, матрица B – матрица перехода от базиса ’ к базису ”, то (AB) – матрица перехода от базиса к базису ”.

Доказательство.

” = ’B и ’ = A, то есть ” = ( A)B = (AB).

Теорема. Если A матрица перехода от одного базиса к другому, то det A ≠ 0.

Доказательство.

Пусть A – матрица перехода от базиса к базису ’, матрица B – матрица перехода от базиса ’ к базису , тогда матрица перехода от к - это матрица (AB).

Итак, AB = E, то есть det(AB) = 1; следовательно, detA detB = 1, значит det A > 0.

Замечание. Если A – матрица перехода от к ’, B – матрица перехода от ’ обратно к , то det A = (det B)^-1.

Упражнения.

1) Докажите, что если матрица A такая, что det A ≠ 0, то A - это матрица перехода от некоторого базиса к другому базису Vⁿ.

(Указание. Можно рассмотреть отдельно случаи n = 1, 2, 3).

2) Постройте аффинную систему координат (O, ). На этом же чертеже изобразите систему координат (O’, ’), найдите матрицу перехода от базиса к базису ’. Определите координаты вектора в базисе ’.

	= e1 , = e1 – e2, = 2e2; = 3e1 – 2e2;
	В системе координат (O, ): O’ (1,3), = - e2, = 2 , = (-2,1);