§ 10. Сумма векторов

Пусть в Eⁿ фиксирована декартова система координат.

Определение. Суммой векторов и ( ,  Vⁿ) будем называть вектор Î Vⁿ, координаты которого – это сумма координат векторов и , то есть = + .

Обозначение: = + - « вектор равен сумме векторов и .

Замечание. Определение суммы введено при фиксированной системе координат, и пока не ясно зависит ли результат суммы двух векторов от выбора системы координат.

Теорема. (Свойства суммы векторов).

1. Операция суммы векторов коммутативна, то есть + = + для любых векторов , Î Vⁿ .

2. Операция суммы векторов ассоциативна, то есть + ( + ) = ( + ) + для любых векторов , , Î Vⁿ .

3. Нуль-вектор является нейтральным элементом относительно операции суммы векторов, то есть +  = для любого вектора Î Vⁿ .

4. Для любого вектора Î Vⁿ существует вектор (- )ÎVⁿ такой, что + (- ) = q

5.  ( + ) = l + l для любых векторов , Î Vⁿ и любого числа l Î R.

6. ( + ) = l +  для любого вектора Î Vⁿ и любых чисел l, m Î R.

Доказательство.

1) Так как + = + , то + = + .

2) Так как + ( + ) = ( + ) + , то + ( + ) = ( + ) + .

3) Так как + = , то +  = .

4) Пусть = ( ), возьмем вектор (- ) с координатами: (- ) = (- ).

Так как + (- ) = , то + (- ) = .

5) Так как ( + ) =  +  , то ( + ) =  +  .

6) Так как ( + ) =  +  , то ( + ) =  +  .

Замечание.

Свойства 1- 4 операции суммы векторов говорят о том, что множество Vⁿ относительно операции суммы – это коммутативная группа.

Определение. Вектор (- ) такой, что + (- ) = q будем называть противоположным к вектору .

Замечания.

1) Для нуль-вектора противоположным будет тоже нуль-вектор.

2) Вектор противоположный к противоположному к вектору - это вектор ,

то есть -(- ) = .

3) (-1) = - .

4) Для любого вектора существует единственный вектор противоположный к данному.

Теорема. (Правило треугольника для суммы векторов).

Пусть , Î Vⁿ и точки A,B,C Î Eⁿ такие, что = , = . Тогда = + .

Доказательство.

Пусть = ( ), = ( ), A ( ), B ( ) и C ( ), и пусть вектор такой, что

= + .

Так как = , = , то - = и - = .

Тогда координаты вектора будут следующими:

+ = ( - ) + ( - ) = - , то есть = .

РИС. 21

Следствие. Результат суммы векторов не зависит от выбора системы координат.

Доказательство.

Понятие суммы векторов свелось к понятию «откладывания вектора от точки» , которое не зависит от выбора системы координат.

Следствие. Пусть = , тогда = (- ).

Доказательство.

Так как + = = , то - представитель вектора противоположного вектору .

Следствие. (Правило параллелограмма для суммы двух векторов.)

Пусть , Î Vⁿ – не коллинеарные векторы, точки A,B,C, D Î Eⁿ такие, что = , = и ABCD – параллелограмм. Тогда = + .

Доказательство.

Так как ABCD – параллелограмм, то = = (см. § 8), поэтому + = + = .

РИС. 22

Определение. Разностью вектора и вектора будем называть вектор, который равен сумме вектора и вектора (- ).

Обозначение: - = + (- ).

Следствие. = -  = - .

Замечание. Множество векторов Vⁿ с операциями умножения на число и суммой элементов является частным случаем векторного (линейного) пространства. В дальнейшем будем употреблять термин «пространство Vⁿ» подразумевая множество Vⁿ вместе с данными операциями.

Упражнения.

1) Докажите, что | | + | | ³ | + | для любых векторов , Î Vⁿ .

2) Докажите правило параллелограмма для суммы векторов, не ссылаясь на правило треугольника.

3) Докажите , что если = , = , … = (n Î N), то + + …+ = + +…+ (правило многоугольника для суммы векторов).

4) Докажите, что для любого вектора  Vⁿ существует единственный вектор ÎVⁿ такой, что + = q.

5) Сформулируйте и докажите правило аналогичное правилу треугольника для разности векторов.