7.4. Примеры применения барицентрической системы координат

Теорема Чевы. Пусть на плоскости дан треугольник ABC, точки A₁, B₁, C₁ такие, что точка C₁ делит отрезок AB в отношении «часть к части» равном ₁, точка A₁ делит отрезок BC в отношении «часть к части» равном m₂, точка B₁ делит отрезок CA в отношении «часть к части» равном m₂.

Тогда для того, чтобы прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекались в одной точке необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство: ₁ ₂ ₃ = 1.

Доказательство.

Рассмотрим барицентрическую систему координат на плоскости с фиксированным набором точек (A,B,C).

Точка C₁ делит отрезок AB в отношении «часть к части» равном m₁, тогда ее барицентрические координаты таковы, что C₁ = (1- l₁)A + l₁B и m₁ = .

Точка A₁ делит отрезок BC в отношении «часть к части» равном m₂, тогда ее барицентрические координаты таковы, что A₁ = (1- l₂)B + l₂C и m₂ = .

Точка B₁ делит отрезок CA в отношении «часть к части» равном m₃, тогда ее барицентрические координаты таковы, что B₁ = (1- l₃)C + l₃A и m₃ = .

1) Пусть прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекались в одной точке - в точке O.

Так как точка O лежит на прямой AA₁, то существует такое число , что O = (1-)A + A₁,

То есть O = (1-a)A + a(1- l₂)B + l₂C (1).

Так как точка O лежит на прямой BB₁, то существует такое число , что O = (1-)B + B₁,

То есть O = (1-)B + (1- l₃)C + l₃A = bl₃A + (1-b)B + b(1- l₃)C (2).

Так как точка O лежит на прямой CC₁, то существует такое число , что O = (1-)C + C₁,

То есть O = (1-)C +  (1- l₁)A + l₁B = g (1- l₁)A + gl₁B + (1-g)C (3).

Из равенств (1),(2),(3) (так как барицентрические координаты точки определены однозначно) следует, что l₃ =  (1- l₁), (1-l₂) = l₁, l₂ = (1-l₃).

Итак, m₁ m₂ m₃ = = = 1.

2) Докажем, что если точки A₁, B₁, C₁ такие, что m₁ m₂ m₃ = 1, то прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Пусть точка O - точка пересечения прямых AA₁и BB₁.

Через точки C и O проведем прямую, и пусть точка C₁’ - точка пересечения прямых CO и AB. Докажем, что точки C₁ и C₁’ совпадают.

Пусть точка C₁’ делит отрезок AB в отношении «часть к части» равном m₁’.

По первой части доказательства, так как прямые прямые AA₁, BB₁ и CC₁’ пересекаются в одной точке, то m₁ m₂ m₃’ = 1.

Следовательно, m₃ = m₃’ и барицентрические координаты точек C₁и С₁’ совпадают, значит совпадают и сами точки.

РИС.18 (1,2)

Примеры.

Используя теорему Чевы легко доказать (докажите), что медианы (высоты, серединные перпендикуляры к сторонам, биссектрисы углов) в треугольнике пересекаются водной точке.

Теорема Менелая. Пусть на плоскости дан треугольник ABC, точки A₁, B₁, C₁ такие, что точка C₁ делит отрезок AB в отношении «часть к части» равном m₁, точка A₁ делит отрезок BC в отношении «часть к части» равном m₂, точка B₁ делит отрезок CA в отношении «часть к части» равном m₂. Тогда для того, чтобы точки A₁, B₁ и C₁ лежали на одной прямой необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство: m₁ m₂ m₃ = -1.

Доказательство (аналогично доказательству теоремы Чевы).