9. Формула Байеса

Пусть H₁,H₂,...,H_n - полная группа событий и А   – некоторое событие. Тогда по формуле для условной вероятности

(*)

Здесь P(H_k /A) – условная вероятность события (гипотезы) H_k или вероятность того, что H_k реализуется при условии, что событие А произошло.

По теореме умножения вероятностей числитель формулы (*) можно представить в виде

P = P = P(A /H_k) P(H_k)

Для представления знаменателя формулы (*) можно использовать формулу полной вероятности

P(A)

Теперь из (*) можно получить формулу, называемую формулой Байеса:

По формуле Байеса исчисляется вероятность реализации гипотезы H_k при условии, что событие А произошло. Формулу Байеса еще называют формулой вероятности гипотез. Вероятность P(H_k) называют априорной вероятностью гипотезы H_k, а вероятность P(H_k /A) – апостериорной вероятностью.

Пример. Рассмотрим приведенную выше задачу об электролампах, только изменим вопрос задачи. Пусть покупатель купил электролампу в этом магазине, и она оказалась бракованной. Найти вероятность того, что эта лампа изготовлена на втором заводе. Величина P(H₂) = 0,5 в данном случае это априорная вероятность события, состоящего в том, что купленная лампа изготовлена на втором заводе. Получив информацию о том, что купленная лампа бракованная, мы можем поправить нашу оценку возможности изготовления этой лампы на втором заводе, вычислив апостериорную вероятность этого события.

Выпишем формулу Байеса для этого случая

Из этой формулы получаем: P(H₂ /A) = 15/34. Как видно, полученная информация привела к тому, что вероятность интересующего нас события оказывается ниже априорной вероятности.

10. Испытания Бернулли. Наиболее вероятное число успехов

5.1. Распределение числа успехов в n испытаниях

Определение 19.

Схемой Бернулли  называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода  —  «успех» и «неудача», при этом «успех» в одном испытании происходит с вероятностью , «неудача»  —  с вероятностью .

Теорема 10 (формула Бернулли).

Обозначим через число успехов в испытаниях схемы Бернулли. Тогда для любого

Доказательство.

Событие означает, что в испытаниях схемы Бернулли произошло ровно успехов. Рассмотрим один из благоприятствующих событию элементарных исходов: . Здесь буквами «у» и «н» обозначены, соответственно, успешный и неудачный результаты испытаний. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода (первые испытаний завершились успехом, остальные неудачей) равна .

Другие благоприятствующие событию элементарные исходы отличаются от рассмотренного выше лишь расположением успехов на местах. Есть ровно способов расположить успехов на местах. Поэтому событие состоит из элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна .

Q.D.E.

Определение 20.

Набор чисел называется биномиальным распределением вероятностей и обозначается или .

Наиболее вероятное число успехов

По формуле Бернулли, событие «произошло 0 успехов в испытаниях» имеет вероятность , 1 успех  —  вероятность и т.д. Какое же число успехов наиболее вероятно? Иначе говоря, при каком достигается максимум ?

Чтобы выяснить это, сравним отношение и с единицей.

          

          

Видим, что

(a)

   при , то есть при ;

(b)

   при , то есть при ;

(c)

   при , что возможно лишь если  —  целое число.

Рассмотрим два случая: и .

В первом случае пусть . Из полученных выше неравенств сразу следует, что

Во втором случае пусть (целая часть числа , то есть наибольшее целое число, не превосходящее ). Из неравенств (a),(b) следует, что

Действительно, неравенство , например, следует из (b), примененного для .

Видим, что в зависимости от того, является число целым или нет, имеется либо два равновероятных «наиболее вероятных» числа успехов и , либо одно «наиболее вероятное» число успехов .

Сформулируем уже доказанное утверждение в виде теоремы.

Теорема 11.

В испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха наиболее вероятным числом успехов является

a)   единственное число , если число не целое;

б)   два числа и , если число целое.

11. Локальная теорема Муавра-Лапласа

Теорема Муавра — Лапласа — одна из предельных теорем теории вероятностей, установлена Лапласом в 1812 году. Если при каждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события Е равна р (0<р<1) и m — число испытаний, в которых Е фактически наступает, то вероятность неравенства близка (при больших n) к значению интеграла Лапласа.

12. Интегральная теорема Лапласа

13. Формула Пуассона

14. Отклонение частоты от постоянной вероятности

15. Независимые испытания с переменной вероятностью успеха. Производящая функция

Биномиа́льное распределе́ние в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна p.

16. Случайные величины дискретного типа и их характеристики

Определение: Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно значение из возможного множества своих значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.

Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.

Определение: Случайная величина Х называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.

Другими словами, возможные значения дискретной случайной величину можно перенумеровать.

Описать случайную величину можно с помощью ее закона распределения.

Определение: Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений, т.е.

x x1 x2 х3 … хn

p р1 р2 р3 ... рn

где р1+ р2+…+ рn=1

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд р1+ р2+…+ рn+… сходится и его сумма равна 1.

Определение: Функцией распределения дискретной случайной величины Х называется функция F(x), определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше х:

F(x)=Р(Х<х)

К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.

Определение: Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

n

М(Х)=∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

i=1

Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины.

Определение: Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться формулой:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

n

где М(Х)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

i=1

Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния возможных значений случайной величины используют также величину √D(X).

Определение: Средним квадратическим отклонением σ(Х) случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии: