5. Совместные и несовместные события. Теорема сложения вероятностей

Если А и В - совместные события, то их сумма1 А В обозначает наступление или события А, или события В, или обоих событий вместе. Если А и В - несовместные события, то их сумма А В означает наступление или события А, или события В.

6. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей

Различают события зависимые и независимые. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого. Например, если в цехе работают две автоматические линии, по условиям производства не взаимосвязанные, то остановки этих линий являются независимыми событиями. Независимыми называются события A и B, если вероятность события A не зависит от того, наступило событие B или нет.

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любое из них не зависит от любого другого события и от любой комбинации остальных.

События называются зависимыми, если одно из них влияет на вероятность появления другого. Например, две производственные установки связаны единым технологическим циклом. Тогда вероятность выхода из строя одной из них зависит от того, в каком состоянии находится другая. Вероятность одного события B, вычисленная в предположении осуществления другого события A, называется условной вероятностью события B и обозначается P{B|A}.

Условие независимости события B от события A записывают в виде P{B|A}=P{B}, а условие его зависимости — в виде P{B|A}не=P{B}.

7. Условная вероятность

Условной вероятностью события A при условии наступления события B называют отношение вероятности пересечения событий A и B к вероятности события B:

Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

8. Формула полной вероятности

Пусть имеется группа событий H₁, H₂,..., H_n, обладающая следую­щими свойствами:

1) все события попарно несовместны: H_i H_j =; i, j=1,2,...,n; ij;

2) их объединение образует пространство элементарных исходов :

 =  .

Рис.8

В этом случае будем говорить, что H₁, H₂,...,H_n образуют полную группу событий. Такие события иногда называют гипотезами.

Пусть А – некоторое событие: А   (диаграмма Венна представлена на рисунке 8). Тогда имеет место формула полной вероятности:

P(A) = P(A/ H₁)P(H₁) + P(A/ H₂)P(H₂) + ...+ P(A/ H_n)P(H_n) =

Доказательство. Очевидно: A = , причем все события (i = 1,2,...,n) попарно несовместны. Отсюда по теореме сложения вероятностей получаем

P(A) = P( ) + P( ) +...+ P(

Если учесть, что по теореме умножения P( ) = P(A/H_i)P(H_i) (i = 1,2,...,n), то из последней формулы легко получить приведенную выше формулу полной вероятности.

Пример. В магазине продаются электролампы производства трех заводов, причем доля первого завода - 30, второго - 50, третьего - 20. Брак в их продукции составляет соответственно 5, 3 и 2. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа оказалась бракованной.

Пусть событие H₁ состоит в том, что выбранная лампа произведена на первом заводе, H₂ на втором, H₃ - на третьем заводе. Очевидно:

P(H₁) = 3/10, P(H₂) = 5/10, P(H₃) = 2/10.

Пусть событие А состоит в том, что выбранная лампа оказалась бракованной; A/H_i означает событие, состоящее в том, что выбрана бракованная лампа из ламп, произведенных на i-ом заводе. Из условия задачи следует:

P (A/H₁) = 5/10; P(A/H₂) = 3/10; P(A/H₃) = 2/10

По формуле полной вероятности получаем