Т Лекция№16 у Слейтора все граничные точки включены в множество.

Точки, лучшие, чем y в смысле  заполняют прямой угол, стороны которого параллельны осям координат (включая границы угла). Вершиной угла является точка y (сама она в это множество не включается), а точки, лучшие, чем y в смысле >, составляют внутренность этого же угла.

Отношения _, ,>, определяемые на множестве оценок, аналогичны по смыслу отношениям f, f, f предпочтений на множестве решений.

f – не менее предпочтительнее, чем

f – предпочтительнее

Отношение f является квазипорядком, а отношения f и f – строгие порядки.

Решению, наибольшему по f соответствует отношение _ из множества всех оценок. След. наибольшее по f решение обращает в max на множестве Х каждый из критериев f₁,…,f_m. Эти решения считаются оптимальными, но в реальной жизни их почти нет.

Решение х⁰Х является эффективным, если не существует решения х Х:

х f х⁰. – Р_р(х)

Решение х⁰Х является слабо эффективным, если не существует решения х Х:

х f х⁰. – S_p(x)

Понятие эффективного решения теряет смысл, когда нужно найти несколько лучших решений.

Собственные эффективные оценки и решения

Исследования показывают, что среди эффективных могут встречаться оценки (решения), оказывающиеся в определенном смысле аномальными.

Пример: Y:{yE²/y₁-y₂}

E ² – двумерное евклидово пространство

P(y) y₂

y₂ = y₂-(y₂)⁰=y₂>0 y₂

y₁ = y₁-(y₁)⁰=y₁=-(y₁)²<0

y₁ y⁰ y₁

Если перейти из точки y₁⁰ в достаточно близкую эффективную точку y, то будет получен выигрыш первого порядка малости по второму критерию, за счет проигрыша второго порядка малости по первому критерию.

Если критерий f₁ не считать несравненно более важным, чем f₂, то можно согласиться на некоторое увеличение значения f₂, допустив на порядок меньшие потери по f₁. Т.о. y⁰ является аномальной.

Этот вывод справедлив только для непрерывных функций специального вида, причем, если все процедуры рассматриваются в промежутке от 0 до 1.

Этот пример показывает, что иногда имеет смысл выделять эффективные решения без аномалий. Для общего случая определение собственной эффективности было предложено Джоффрионом в 1918 г.

Эффективная оценка y⁰ называется собственно эффективной (оптимальной по Джоффриону), если существует такое положительное число , что для любого iM и yY, для которых выполняется следующее неравенство: y_i>(y_i)^o (1) и некоторого jM (M- множество критериев) такого, что y_j>(y_j)^o (2), выполняется неравенство: (y_i-(y_i)^o )/( y_j>(y_j)^o)  (3)

Заметим, что поскольку y⁰эффективна, то если существует оценка y, для которой при некотором i выполняется (1), то обязательно найдется j для которого будет выполняться (2) . Поэтому смысл этого определения в требовании существования , для которого будет выполняться (3).

Все собственные решения составляют множество G(Y)

G(Y)P(Y)S(Y)

Если множество Y конечно, то всякая эффективная оценка является и собственно эффективной. Если Р(Y) содержит более одной оценки, то искомое можно задать следующим равенством:

=max {(y_i-(y_i)^o )/( y_j>(y_j)^o) } ij

Наилучшая по отношению  оценка y⁰Y является собственно эффективной, т.к. y⁰ _y для любого yY и (1) не выполняется. Следующее решение, обращающее в max каждый из критериев f₁,…,f_m, является собственно эффективным.

Понятие собственных эффективных оценок и решений не имеет смысла, когда одни критерии несравненно важнее других.

Задачи, в которых критерии упорядочены по важности так, что каждый предыдущий важнее, чем все последующие, называются лексико-графическими задачами оптимизации, т.е. в таких задачах нестрого предпочтения является лексико-графическим порядком.

Этот порядок задается следующим образом:

y__вхy’, когда выполняется одно из условий:

• y₁> y_1’

• y₁= y_1’ и y₂> y_2’

• _…

• y_i= y_i’ и i=1,…(m-1) y_m> y_m’

• …

• y= y_’

Для лексико-графических задач важны исключения аномальных точек.