Эвристический алгоритм

Пусть - матрица потерь множества ранжирований.

1-ая интерпретация. Подсчитаем . Найдем

Альтернативу а_i1 ставим на первое место в искомом ранжировании. Полагаем S⁽¹⁾ = s_i1. Вычеркивая в строку и столбец с номером i₁ получаем матрицу множество индексов строк и столбцов

которой, соответственно:

К-ая интерпретация. В матрице потерь подсчитаем найдем ,

альтернативу a_ik ставим на К-ое место в искомом упорядочении. Полагаем .

Вычеркивая в строку и столбец с номером i_k получаем матрицу , множество индексов строк и столбцов которой . Алгоритм завершается после n-ой итерации , искомое упорядочение:

Ц елесообразно использовать следующий простой алгоритм перехода от ранжирования Р_I к P_II, для которого выполнено необходимое условие оптимальности.

Последовательно проверяем справедливость соотношений . Как только для некоторого к оно нарушено альтернативы a_ik и a_ik+1 в ранжировании меняем местами, а отношение: , проверяем, начиная с альтернативы непосредственно предшествующей альтернативе подвергшейся перестановке.

После конечного числа шагов будет получено ранжирование P_II, для которого необходимое условие оптимальности выполнено.

Пример (для вышеприведенного случая)

Найдем ранжирование Р_I :

1-ая итерация. Подсчитаем:

м инимум достигается на

на первое место в ранжировании Р_I помещается альтернатива а₂ и из дальнейших рассмотрений исключается.

2-ая итерация. Подсчитаем:

м инимум достигается на , на второе место в ранжировании Р_I помещается альтернатива а₃ и из дальнейших рассмотрений исключается.

3-я итерация. Подсчитаем:

м инимум достигается на , на третье место в ранжировании Р_I помещается альтернатива а₄ и из дальнейших рассмотрений исключается.

Таким образом, ранжирование Р_I имеет вид:

Найдем теперь ранжирование P_II

Сравниваем r₄₁ и r₁₄, поскольку альтернативы a_n и a₁ стоят, соответственно, на предпоследнем и последнем местах в ранжировании Р_I

Так как r₄₁ < r₁₄, переходим к сравнению r₃₄ и r_43, т.к. r₃₄ < r₄₃, переходим к сравнению r₂₃ и r₃₂ r₂₃ > r₃₂, поэтому альтернативы а₂ и а₃ меняем местами поскольку r₂₄ < r₄₂, найденное ранжирование и является ранжированием P_II, для которого соотношения , выполнено.

Комбинаторный алгоритм отыскания медианы Кемени

Существенная роль в алгоритмах отыскания медианы Кемени принадлежит оценкам величины суммарного расстояния от медианы Кемени Р* до ранжирований всех экспертов .

Нижней границей величины является величина .

Верхней границей величины будет служить любая величина , где Р – произвольное ранжирование. Чем меньше значение , тем ближе она к , поскольку по определению медиана Кемени: .

Комбинаторный алгоритм основан на методе ветвей и границ с односторонней схемой ветвления.

При построении алгоритма следует максимально учесть специфику задачи. Для этой цели в матрице потерь ранжирований Р₁,….Р_m подсчитаем , , равное числу столбцов матрицы потерь (числу альтернатив), для которых r_ij > r_ji, и , , равна числу столбцов, для которых r_ij < r_ji. Если в матрице потерь нашлась строка с . Это означает, что х_i1 – альтернатива Кондорсе и в медиане Кемени она должна занимать первое место. Если после отбрасывания альтернативы Кондорсе х_i1, что соответствует отбрасыванию в матрице строки и столбца с номером i₁ обнаружится новая строка с , то и место альтернативы х_i2 в медиане Кемени определено: х_i2 расположена непосредственно за х_i1. Аналогично можно выделить и другие лучшие альтернативы, расположение которых в медиане становится известным.