Парадокс Эрроу.

Эрроу выдвинул весьма разумные допущения, касающиеся агрегирования индивидуальных ранжировании. А затем исследовал ряд следствий, вытекающих из этих допущений:

1. Допущение об универсальности.

Результирующее отношение F д.б. определено для всевозможных ранжирований, полученных различными экспертами, при условии, что число экспертов не менее двух, а альтернатив не менее 3-х.

2. Положительная связь.

Если результирующее отношение F свидетельствует в том, что альтернатива предпочтительней и если при изменении экспертами своих предпочтений, касающихся только , результаты попарных сравнений между и любой альтернативой меняется в пользу , либо остается неизменным, то результирующее отношение F должно по прежнему указывать, что .

3. Независимость от несуществующих альтернатив.

Если некая альтернатива исключается из рассмотрения, а отношения предпочтения для остающихся альтернатив по мнению всех экспертов, остаются неизменными, то новое результирующее отношение для оставшихся альтернатив д.б. идентичным первоначальному результирующему отношению этих альтернатив.

4. Условие ненавязанности или суверенности экспертов.

Для любой пары альтернатив , существует такая совокупность упорядочений (мнений экспертов), что согласно результирующему отношению альтернатива будет предпочтительнее .

5. Отсутствие диктатора.

Не д.б. в группе экспертов такого, что когда он предпочитает альтернативе , то в результирующем отношении будет предпочтительнее независимо от предпочтении других экспертов.

Эти условия являются несовместимыми. Не существует таких правил построения результирующих отношений, чтобы одновременно выполнялось все пять условий.

Принцип Парето.

Если все эксперты предпочитают альтернативу альтернативе , то и в результирующем отношении объект д.б. предпочтительнее . Точно также, если все члены группы безразличны в выборе между и , такое же д.б. результирующее отношение.

Если мы обозначим результирующее отношение для экспертов через , то результирующее отношение удовлетворяющее принципу Парето будет удовлетворять условию:

Лекция №12

4. 3.5. Медиана Кемени

С введением мер близости (на отношениях), получена возможность определять расстояние между произвольной парой ранжирований.

Естественно предположить, что результирующее ранжирование F(P₁, ……P_m) должно быть расположено, как можно ближе к ранжированиям P₁,….P_m. Такое ранжирование М*(Р₁,…..Р_m) и называется медианой Кемени:

Е сли вместо ранжирования рассматриваются отношения частного порядка или эквивалентности, то медиану Кемени будем определять аналогично.

Медина Кемени определена на множестве ранжировании, либо частных порядков, либо эквивалентностей в зависимости от содержательной постановки задачи.

Во всех трех случаях множества отношений, которым принадлежит указываемый экспертами набор отношений, являются универсальными. Так как и ранжирования и отношения частного порядка и эквивалентности транзитивны, а медиану Кемени мы отыскиваем в том же классе отношений, - медиана Кемени обладает свойством транзитивности.

Любая пара альтернатив (a_i,a_j) может как принадлежать, так и не принадлежать медиане Кемени. Действительно, пусть мы отыскиваем медиану для единственного множества отношений, состоящего из отношений Р. но в качестве Р можно выбрать как отношение, содержащее пару (a_i,a_j), так и отношение, не содержащее её. Следовательно, медиана Кемени М*(Р₁,...,Р_m) удовлетворяет условию 4.

Выполнение условия 5 для медианы Кемени очевидно. Конкретный вид медианы М*(Р₁,…..Р_m) заранее неизвестен. Отыскание её, вообще говоря, является достаточно сложной оптимизационной задачей, алгоритмы решения которой будут изложены ниже.

Можно также показать, что для медианы Кемени выполняется также и условие 3.

Условие 1 оказывается, вообще говоря, для медианы Кемени невыполнимым.

Медиана Кемени – единственное результирующее, строгое ранжирование, являющееся нейтральным, согласованным и кондорсетовым.

Таким образом, медиана Кемени удовлетворяет принципу выбора Кондорсе, не приводя к парадоксу Кондорсе. С другой стороны, медиана Кемени удовлетворяет условиям 2 – 5 Эрроу, не удовлетворяя лишь условию 1, относительно целесообразности введения которого у исслед. нет единодушия, т.к. мед. Кемени – можно считать одним из наиболее корректных результирующих отношений.

Алгоритмы отыскания медианы Кемени (для ранжирований)

Задача отыскания медианы Кемени относится к числу универсальных задач дискретной оптимизации. (Но число оцениваемых экспертами альтернатив невелико № 20-30 и поэтому задача решается достаточно эффективно).

Возможны различные формы представления информации о ранжированиях Р₁,…..Р_m: .

Одна из наиболее распространенных матрицы отношений: .

При введении мер близости целесообразно рассматривать матрицы потерь: .

Расстояние от произвольного ранжирования Р, которому соответствует матрица: .

Для всех ранжировании Р₁,…,Р_m, указанных экспертами, которым соответствуют матрицы отношений определяется по формуле:

г де

Таким образом, суммарное расстояние от Р до Р₁,….Р_m указанных экспертами, можно представить с помощью d_ij (P, P_u). Заметим, что при P_ij = 1,

Определим элемент матрицы потерь r_ij как:

Чтобы получить r_ij, необходимо рассмотреть:

Элементы матрицы потерь определяются ранжированиями Р₁,…..Р_m и не зависят от ранжирования Р.

Тогда для произвольного ранжирования Р:

где I_p – множество пар индексов (i,j) таких, что в P

Пример: построения матрицы потерь

Пусть экспертами указаны ранжирования

Р₁ Р₂ Р₃ Р₄

которым соответствуют матрицы отношений

т огда , где P- произвольное ранжирование, в котором Р₁₄ =1, т.е. r₁₄ = 2+0+2+1=5

Значения ,

где Р – произвольное ранжирование, в котором Р₄₁=1, r₄₁ =0+2+0+1=3, остальные значения r_ij рассчитываются аналогично. Матрица потерь имеет следующий вид:

В матрице потерь нумерация строк и столбцов совпадает, причем строке и столбцу с определенным номером соответствует альтернатива, имеющая тот же номер.

Задача отыскания медианы Кемени для ранжирований может быть сформулирована как задача отыскания такого упорядочивания альтернатив, а, следовательно, строк и столбцов матрицы потерь, чтобы сумма её элементов, расположенных над диагональю была минимальна, таким образом, вся информация о ранжированиях экспертов, необходимая для отыскания медианы Кемени, содержится в матрице потерь.