II.4.3. Понятие нечеткой и лингвистической переменной

Определение. Нечеткая переменная характеризуется тройкой (X, U, R (X;u)), где Х – название переменной, U – универсальное множество, u – общее название элементов множества U, R(X; u) –нечеткое подмножество множества U, представляющее собой нечеткое ограничение на значения переменной u, обусловленное Х. (Вместо R(X, u) будем писать сокращенно R(X), R(u) или R(x), где х – общее название значений переменной Х, и будем называть R(X, u) ограничением на u или ограничением, обусловленным Х. Неограниченная обычная переменная u является для Х базовой переменной).

Уравнение назначения для Х имеет вид: X = U: R(X)

и отражает то, что элементу х назначается значение u с учетом ограничения R(X).

Ту степень, с которой удовлетворяется это равенство, будем называть совместимостью значения u с R(X) и обозначать её через C(u). По определению:

где - степень принадлежности u ограничению R(X).

Замечание. Важно отметить, что совместимость значения u не есть тоже самое, что вероятность значения u.

Совместимость u с R(X) – это лишь мера того, насколько значение u удовлетворяет ограничению R(X); она не имеет никакого отношения к тому насколько вероятно или невероятно это значение.

Важным аспектом понятия лингвистической переменной является то, что эта переменная более высокого порядка, чем нечеткая переменная, в том смысле, что, значениями лингвистической переменной являются нечеткие переменные. Например, значениями лингвистической переменной Скорость м. быть: малоскоростной, скоростной, нескоростной, очень скоростной и т.д. каждое из этих значений является названием нечеткой переменной. Если Х – название нечеткой переменной, то ограничение, обусловленное этим названием, можно интерпретировать как смысл нечеткой переменной Х. Так, если ограничение, обусловленное нечеткой переменной «скоростной», представляет собой нечеткое подмножество множества U = [0,1000] вида

т о это нечеткое множество м. Считать смыслом нечеткой переменной скоростной.

Определение. Лингвистическая переменная характеризуется набором (X, T(X), U, G, M), в котором Х – название переменной; Т(Х) обозначает терм-множество переменной Х, т.е. множество названий лингвистических значений переменной Х, причем каждое из таких значений является нечеткой переменной Х со значениями из универсального множества U с базовой переменной u; G – синтаксическое правило, порождающее названия Х значений переменной х, а М – семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной Х её смысл М(Х), т.е. нечеткое подмножество М(Х) универсального множества U. Конкретное название Х порожденное синтаксическим правилом G, называется термом. Терм, состоящий из одного слова или нескольких слов, всегда фигурирующих вместе друг с другом, называется атомарным термом. Терм, состоящий из одного или более атомарных термов, называется составным термом.

Смысл М(Х) терма Х определяется как ограничение R(X) на базовую переменную U, обусловленное нечеткой переменной Х: M(X)=R(X).

Имея в виду, что R(X) и, следовательно, М(Х) м. Рассматриваться как нечеткое множество множества U, имеющее название Х.

Пример. Рассмотрим лингвистическую переменную скорость, т.е. Х=Скорость и пусть U=[0,1000]. Лингвистическим значением переменной Скорость может быть, например, скоростной, причем значение скоростной, является атомарным термом. Другим значением может быть очень скоростной, т.е. составной терм, в котором – скоростной атомарный терм, а очень и скоростной – подтермы.

Значение более или менее скоростной переменной скорость – составной терм, в котором терм скоростной – атомарный, а более или менее – подтерм. Терм – множество переменной Скорость можно записать следующим образом:

Т (Скорость) = скоростной + очень скоростной + не скоростной + более или менее скоростной + …

Принцип обобщения.

Принцип обобщения для нечетких множеств представляет собой в сущности основное равенство, позволяющее расширить область определения U отображения или отношения, включив в неё наряду с точками произвольные нечеткие подмножества множества U. Более конкретно, предположим, что f – отображение , а А – нечеткое подмножество вида: .

Т огда принцип обобщения утверждает, что:

Итак, образ множества А при отображении f можно получить, зная образы элементов u₁….u_n при этом отображении.

Е сли носитель подмножества А имеет мощность континуума, т.е.

То принцип обобщения принимает следующий вид:

п ри этом необходимо учитывать, что f(u) – точка множества V, а - степень принадлежности f(u) нечеткому подмножеству f(A) множества V.

Во многих приложениях принципа обобщения возникает следующая проблема. Имеется функция n переменных f : и нечеткое множество (отношение) А в , характеризующееся функцией принадлежности , где , i = 1, …n.

Непосредственное применение в этом случае принципа обобщения дает

О днако во многих случаях нам известно не само множество А, а его проекции А₁…А_n на U₁,…, U_n соответственно. В связи с этим возникает вопрос: какое выражение для , следует использовать в (*).

В таких случаях будем предполагать, что функция принадлежности А имеет вид

г де - функция принадлежности отношения A_i.

Символические математические модели представляют собой совокупность математических соотношений в виде формул, уравнений операторов, логических условий или неравенств, которые определяют входные и выходные параметры, характеристики состояния системы и т.д.

Символические математические модели можно разделить на два широких класса: аналитические и алгоритмические модели.

В аналитических моделях система задается в виде алгебраических, дифференциальных, интегральных соотношений и т.д. изучение этих соотношений можно проводить как аналитически, так и с помощью ЭВМ. Аналитические модели получили широкое распространение и до появления ЭВМ были наиболее широко используемой формой математического моделирования. С ростом сложности систем возможности аналитического моделирования, естественно, уменьшаются.

В последнее время все большее применение находят алгоритмические модели. Эти модели представляют собой сложную алгоритмически заданную функцию многих переменных исходных данных, обычно реализуемую на ЭВМ. Алгоритм вычисления этой функции строится на сочетании традиционных математических форм описания систем с логическими процедурами, отражающими закономерности, факторы и условия, свойственные реальным системам.

Сложная логико-аналитическая структура алгоритмических моделей не позволяет осуществлять прямой анализ системы и требует многократного моделирования с вариацией значений параметров и дальнейшей интерпретацией полученных результатов.

Иконографические математические модели представляют собой графическое отображение соотношений между элементами и параметрами системы. Иконографические модели подразделяются на три большие группы: топологические модели-графы, сетевые модели и структурные блок-схемы.

Можно заметить, что обе формы представления – как символическая, так и иконографическая дополняют друг друга и позволяют рассматривать систему с различных точек зрения. Причем, если символические модели применимы в основном к системам, которые уже достаточно хорошо структурированы, то целью построения иконографических моделей как раз и является выявление структуры системы. Поскольку одно назначение системного анализа заключается в структуризации проблемы, определении неявных, скрытых связей и отношений между элементами системы, то, очевидно, что использование графических моделей, особенно на ранних этапах исследования, является важным элементом системного анализа.

Как отмечалось ранее, одним из ведущих принципов методологии системного анализа является принцип многоуровнего описания систем. В реализации этого принципа ведущее положение занимает общая схема системного подхода: элементы – связи – функционирование – развитие. Это означает, что для всестороннего исследования системы необходимо строить комплекс взаимосвязанных математических моделей, отражающих системный подход к анализу проблемы. Такой комплекс моделей должен позволять проводить исследование, начиная с обобщенных представлений о целях, характере деятельности и показателях рационального поведения и кончая детальным представлением процессов функционирования отдельных подсистем и всей системы в целом. Можно выделить следующие виды описания систем, отражающих общую схему системного подхода:

а) морфологическое описание, т.е. описание формы и структуры системы.

б) функциональное описание – отражающее функции, выполняемые элементами системы и поведение системы во времени.

в) информационное – описывающее информационное отображение системы, неопределенности, присущие системе, а также процессы формирования и обработки информации.

Данная классификация видов описаний систем является условной, т.к. вышеприведенные описания не являются изолированными и в значительной степени дополняют друг друга. В общем случае морфологическое описание можно представить тройкой:

где А – множество элементов (подсистем) и их свойств,

V – множество связей,

– структура.

Данное описание системы начинается с элементного состава, и в существенной степени зависит от характера интересующих исследователя связей.

В зависимости от вида связей различают:

• коммуникационное описание – отражающее общие взаимосвязи между частями системы;

• технико-технологическое – отражающее технологические процессы в системе;

• организационное – отражающее органы и объекты управления и т.д.

Следует отметить, что морфологическое описание является иерархичным, т.е. описание начинается с элементов нижних уровней страт иерархии, которые затем на следующей уровне агрегируются в более крупные блоки, а на верхнем уровне получаем вид описания всей системы.

Каждый элемент системы, в свою очередь можно описать функционально и информационно.

Наиболее полно функциональное описание системы задается семеркой:

где Т – множество моментов времени;

Х – множество мгновенных значений входных воздействий;

- множество допустимых входных воздействий;

Z – множество состояний;

Y – множество выходных величин;

или - переходная функция состояния;

или - выходное отображение.

Функциональное описание также иерархично. Причем уровни иерархии функционального и морфологического описаний должны совпадать.

Разнообразие способов описания систем и взаимоотношений между ними приводит к значительным трудностям при увязывании отдельных моделей в единый комплекс моделей системы. Одна из основных трудностей обусловлена так называемым «проклятием размерности», т.е. лавинообразным возрастанием сложности описания при попытках более детально описать систему.

Следующая трудность связана с учетом неопределенностей, присущих анализируемой проблеме. Следует отметить, что слабо структурированная проблема, характеризуется широким спектром неопределенностей. В качестве наиболее существенных можно выделить неопределенности, связанные с неясностью целей, с построением гипотез о состоянии системы, с выбором показателей качества решения, с прогнозом последствий принимаемого решения и т.д. различный характер неопределенностей диктует и различные методы их разрешения. Применение системного анализа к решению слабоструктурированных проблем привело к выработке целого ряда новых методологических принципов и подходов по сравнению с традиционным использованием моделей и математических методов. Одним из таких новых подходов, позволяющим учитывать неопределенности различного характера является теория нечетких множеств.

T Лекция №7

Использование СА в задачах проектирования АСУ

Этап 1. – задумка задачи:

Сбор сведений о предприятии.

Все сведения нужно классифицировать и разбить на 2 группы: сведения о системе и внешняя информация. Нужно выделить:

1. Физическое и техническое окружение системы (т.е. те параметры, которые связаны с техническим состоянием системы).

2. Экономическое окружение (оценка финансового состояния).

3. Социальное окружение (описание отношений между людьми).

4. Нужно создать перечень тех слов и понятий, которые описывают объект автоматизации

5. Далее нужно установить связь между элементами списка, т.е. построить структуру

6. Использовать элементы прогнозирования (как изменяться параметры системы в будущем). Написание сценария – словесного описания системы, развивающейся во времени.

Этап 2. – определение конечной цели:

Чего хотим добиться от внедрения системы?

Для этого нужно представлять себе структуру системы, т.е. составляем дерево целей.

Глобальная цель

Экономическая цель Социальная цель

Научная цель

… …

….

На верхнем уровне цель достаточно размытая.

Цель – желаемый результат деятельности, достижимый в пределах некоторого интервала времени.

Рекомендации по формированию цели:

1. Чем короче, тем лучше.

2. Конкретизация требуемого конечного результата.

3. Конкретизация заданного срока достижения цели. Нужно оговорить, что и когда должно быть сделано (а не как и почему).

4. Ввести критерий достижимости цели (в простых системах критерий и цель могут совпадать, а в сложных системах критериев может быть несколько).

Критерий – стандарт, с помощью которого проведена оценка цели.

Одна из проблем измерения критериев – неизвестно насколько близко достигаются цели. Для этого решаются задачи шкалирования.

Шкала задается:<, R^,R^A>

-множество, которое мы соотносим с данной шкалой (множество непрерывных чисел, целых чисел, набор качественных понятий…).

R^- отношение, заданное на множестве .

R^A- отношение, отображения цели на шкалу.

Шкалы также классифицируются по виду R^, в зависимости от того какие преобразования допускает R^.

Обычно рассматриваются следующие типы шкал:

• Наименований

• Порядковая

• Интервалов

• Отношений

• Разности

• Абсолютная

Чем лучше множество R^, тем совершеннее шкала.