18. Элементарные преобразования строк матрицы.

Элементарными преобразованиями над строками матриц называются следующие преобразования строк:

1. перестановка двух строк;

2. прибавление к одной строке матрицы другой ее строки, умноженной на некоторое ненулевое число;

3. умножение строки на ненулевое число.

Если от матрицы   к матрице   перешли с помощью эквивалентных преобразований над строками, то такие матрицы называются эквивалентными и обозначают   .

19. Ступенчатый вид матрицы, вид Гаусса.

Опорным элементом строки называется первый слева ненулевой элемент.

Нулевая строка – в которой нет опорного элемента.

Определение 1. Матрица называется ступенчатой, если:

1. какая-то одна строка этой матрицы нулевая, то все последующие – нулевые;

2. опорный элемент в каждой последующей строке расположен правее, чем в предыдущей.

Теорема 1. Любая матрица может быть приведена к ступенчатой матрице только с помощью элементарных преобразований 1 и 2.

Замечание. Для данной матрицы можно получить несколько ступенчатых матриц.

Определение 2. Ступенчатая матрица имеет вид Гаусса, если:

1. все ее опорные элементы равны 1;

2. над опорными элементами стоят только 0.

Теорема 2. Любая матрица может быть приведена к матрице вида Гаусса с помощью элементарных преобразований 1, 2 и 3.

Замечание. Вид Гаусса не единственен.

Определение 3. Строки и столбцы ступенчатой матрицы называются базисными, если на их пересечении находятся опорные элементы.

20. Обратная матрица, алгоритм построения.

Обратная матрица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Построение с применением элементарных преобразований:

1. (A|E) строим расширенную матрицу. За «|» пишется единичная матрица той же размерности, что и матрица A.

2. (A|E) с помощью элементарных преобразований к виду Гаусса. Если на месте матрицы получилась единичная матрица, то правее, за «|», находится обратная матрица.

Если не получилось, то |А|=0 и обратной матрицы не существует.

С помощью матрицы алгебраических дополнений:

 — транспонированная матрица алгебраических дополнений;

Полученная матрица A⁻¹ и будет обратной. Иначе говоря, обратная матрица равна единице, делённой на определитель исходной матрицы и умноженной на транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов исходной матрицы.

21. Определитель, свойства определителя.

Каждой квадратной матрице можно составить определитель, т.е. число, которое вычисляется по определенным правилам.

Определитель третьего порядка вычисляется по правилу треугольника, а также разложением по строке.

Свойства определителя:

1. Если определитель содержит 2 одинаковые строки или столбца, то он равен 0.

2. Если 1 строка или столбец определителя состоит из элементов равных 0, то он равен 0.

3. Если определитель содержит 2 пропорциональные строки, то он равен 0.

4. Если 1 из строк определителя равна сумме других строк или сумме произведения других строк на число, то определитель равен 0.

5. При транспонированной матрице определитель не меняется.

6. Если к элементам одной из строк определителя прибавить элементы другой строки, умноженные на некоторое число, то определитель не изменится (позволяет привести определитель к треугольному виду).

7. определитель диагональной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

8. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Замечание. Совместное применение свойств 6 и 8 позволяет быстро вычислять определитель любого порядка:

1. с помощью свойства 6 приводим определитель исходной матрицы к верхнетреугольному виду;

2. к верхнетругольному виду применяем свойство 8.