6. Операции над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

Свойство сложени: Сумма двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di будет комплексное число вида z=z1+z2= a+bi + c+di = a+c +(b+d)i 

Пример:  5+3i + 3−i =8+2i 

Свойство вычитания: Разность двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di будет комплексное число вида z=z1−z2= a+bi − c+di = a−c +(b−d)i 

Пример: .  5+3i − 3−i =2+4i 

Свойство умножения: Произведение двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di будет комплексное число вида z=z1 z2= a+bi c+di = ac−bd +(ad+bc)i 

Пример:  3+2i 4−i =12−3i+8i−2i^2=14+5i 

Свойство деления: Частное двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di будет комплексное число вида z=z1/z2=(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)/(c^2+d^2)i

Пример: . (2+i)/(1+i)=((2+i)(1-i))/((1+i)(1-i))=(2-2i+i-i^2)/(1-i^2)=3/2-(1/2)i 

7. Операции над комплексными числами, представленными в показательной форме.

Рассмотрим тригонометрическую форму комплексного числа  : Используя формулу Эйлера, преобразуем правую часть равенства:

Найдем произведение комплексных чисел   и  , представленных в показательной форме:

   

Таким образом, чтобы найти произведение комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы.

Аналогично находится частное от деления комплексных чисел   и  :

   

Чтобы разделить одно комплексное число на другое, нужно модуль первого числа разделить на модуль второго и из аргумента первого числа вычесть аргумент второго.

Для возведения в целую степень  n  комплексного числа  , это число нужно представить в показательной форме, возвести обе части полученного равенства в степень  n  и записать результат в тригонометрической форме:

Заметим, что если в формулу (4) подставить  , то получается формула

называемая формулой Муавра. 

8. Разложение многочлена на множители. Основная теорема алгебры.

По основной теореме алгебры многочлен n-й степени

P(x)=a0xn+a1xn−1+a2xn−2+...+an−1x+an

с любыми комплексными (и, в частности, действительными) коэффициентами имеет n корней (с учетом их кратностей) и, следовательно, делится нацело на линейные многочлены

x−c1,x−c2,...,x−cn, 

где c1,c2,...,cn - корни многочлена; значит, многочлен P(x) представим в виде произведения n линейных сомножителей:

P(x)=a0(x−c1)(x−c2)...(x−cn). 

Разложение многочлена P(x) в произведение линейных многочленов единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

9. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Алгоритм:

1. Если дробь неправильная, выделить целую часть, следующие пункты применить к остатку

2. Найти действительные корни знаменателя

   1. Если это многочлен степени 3 и выше, некоторые его корни стоит искать перебором делителей свободного члена.

   2. Когда найден хотя бы один корень x₁, нужно разделить исходный многочлен на (x - x₁).

   3. Пункты 1) и 2) нужно повторять до тех пор, пока будет получено квадратное уравнение, корни которого находят по школьным формулам. Если действительных корней нет - оставляют так.

   4. Если до квадратного уравнения дойти не получилось, нужно во-первых - уточнить условие (может, неверно переписано), во-вторых - есть целый раздел математики "решение уравнений высших степеней"

3. Представить знаменатель в виде произведения (x - x₁)(x - x₂)...

4. Получить сумму дробей, в знаменателе каждой из которых находится один из множителей предыдущего пункта, а в числителе - многочлен степени на 1 меньше, чем в знаменателе. Если некий корень оказался кратным степени m, то ему будет соответствовать m дробей, со знаменателями в степени от 1 до m

5. Привести полученные дроби к общему знаменателю и сложить

6. Приравнять полученную дробь к исходной правильной дроби из пункта 0

7. Приравнять коэффициенты при х в одинаковых степенях справа и слева от знака "="

8. Решить полученную систему уравнений

9. Подставить полученные коэффициенты в соответствующие дроби.