1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую.

Уравнение вида

 (1)

называется общим уравнением прямой.

Угол  , определяемый, как показано на рис., называется углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой; его обычно обозначают буквой k:

Уравнение   называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k - угловой коэффициент, b - величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.

Если прямая задана общим уравнением

,

то ее угловой коэффициент определяется по формуле

.

Уравнение   является уравнением прямой, которая проходит через точку   ( ,  ) и имеет угловой коэффициент k.

Если прямая проходит через точки  ( ,  ),  ( ,  ), то ее угловой коэффициент определяется по формуле

.

Уравнение

является уравнением прямой, проходящей через две точки  ( , ) и ( ,  ).

2. Угол между двумя прямыми; условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Если известны угловые коэффициенты   и   двух прямых, то один из углов   между этими прямыми определяется по формуле

.

Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов:

.

Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение

или  .

Иначе говоря, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

3. Эллипс, его свойства, каноническое уравнение.

 Эллипс - это геометрическая фигура, которая ограничена кривой, заданной уравнением  .

Он имеет два фокуса. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

F1 , F2 – фокусы . F1 = ( c ; 0); F 2 (- c ; 0)

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.

 Теорема. Фокусное расстояние и полуоси связаны соотношением: a2 = b 2 + c 2.

Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом. е = с/ a , т.к. с < a , то е < 1.

 Определение. Величина k = b / a называется коэффициентом сжатия , а величина 1 – k = ( a – b )/ a называется сжатием.

Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k2 = 1 – e 2 .

Если a = b ( c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.

Если для точки М(х 1 , у 1 ) выполняется условие:  , то она находится внутри эллипса, а если  , то точка находится вне его.

Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей фигуре эллипс верны соотношения :

r 1 = a – ex , r2 = a + ex .

 С фигурой эллипс связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения: x = a / e ; x = - a / e .

Теорема. Для того, чтобы точка лежала на границе фигуры эллипс, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.

 Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину фигуры эллипс, заданного уравнением : 

 

•  Координаты нижней вершины: x = 0; y2 = 16; y = -4.

•  Координаты левого фокуса: c2 = a 2 – b2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F2 (-3; 0).

•  Уравнение прямой, проходящей через две точки:

 

Пример. Составить уравнение границы фигуры эллипс, если его фокусы F 1 (0; 0), F2 (1; 1), большая ось равна 2.

 

Уравнение границы имеет вид:  . Расстояние между фокусами:

2 c =  , таким образом, a2 – b2 = c2 = 1/2

по условию 2а = 2, следовательно а = 1, b = 

Итого искомое уравнение имеет вид:  .