51) Построение развертки пирамиды способом треугольника (триангуляции)

Боковые грани любой пирамиды являются треугольниками. Для построения развертки пирамиды (рис. 9.2) необходимо предварительно определить натуральные величины боковых ребер и сторон основания.

Рис. 9.2. Построение развертки пирамиды

У изображенной на рисунке пирамиды стороны основания являются горизонталями и проецируются на плоскость П1 в истинную величину. Истинные величины боковых ребер определены способом прямоугольных треугольников. S2M0C0, S2M0B0 и S2M0А0, у которых одним катетом является высота пирамиды (S2М0 - разность высот точки S и точек А, В, С), а другим - горизонтальная проекция соответствующего ребра.

(/M0C0/ = /S1C1/; /M0B0/ = /S1B1/; /M0A0/ = /S1A1/; /M0K0/ = /S1K1/).

Натуральные величины ребер пирамиды могут быть определены способом вращения вокруг оси, проходящей через вершину S и перпендикулярной плоскости П1.

Следующая операция состоит в построении каждой боковой грани как треугольника по трем сторонам. В результате получается развертка боковой поверхности пирамиды в виде ряда примыкающих друг к другу треугольников с общей вершиной S. Присоединив к полученной фигуре основание (АВС), получим полную развертку пирамиды. Построение на развертке точки 1, принадлежащей поверхности пирамиды, понятно из чертежа. Такой способ построения развертки поверхности называется способом триангуляций.

52) Построение развертки способом нормального сечения.

Для построения развертки наклонной призмы, изображенной на рис. 9.3 необходимо найти истинные величины боковых ребер и сторон основания призмы. Призма расположена так, что ее боковые ребра параллельны плоскости П₂ и проецируются на нее в натуральную величину. Стороны оснований являются горизонталями и проецируются на плоскость П1 без искажения. Таким образом, длины сторон каждой грани известны, однако этого еще недостаточно для построения истинной формы боковых граней.

Рис. 9.3. Построение развертки призмы

Боковые грани наклонной призмы являются параллелограммами, которые не могут быть построены по четырем сторонам. Для построения параллелограмма необходимо помимо длины сторон знать еще его высоту. Для определения высот граней пересечем призму плоскостью (2), перпендикулярной к ребрам (способ нормального сечения), и определим истинную величину сечения путем замены плоскостей проекций. Стороны этого нормального сечения и будут высотами соответствующих граней. Теперь приступаем к построению развертки. На свободном месте чертежа проводим горизонтальную прямую m и откладываем на ней отрезки /1 - 2/ = /1₄ - 2₄/, /2 - З/ = /2₄ - 3₄/ и /3 - 1/ = /3₄ - 1₄/.

Через точки 1, 2, 3, 1 проводим перпендикуляры к прямой m и откладываем на них величины боковых ребер так, чтобы /А₁/ = /А₂1₂/ и /К₁/ = /1₂К₂/, /В₂/ = /В₂2₂/ и /L₂/ = /2₂L₂/ и т. п.

Соединив концы построенных отрезков, получим развертку боковой поверхности призмы. Присоединив к ней оба основания, получим полную развертку призмы. Построение на развертке точки 4, принадлежащей поверхности призмы, понятно из чертежа.

53)Построение развертки гранных поверхности и поверхности вращения.

Развертки гранных поверхностей

Процесс получения развертки гранной поверхности сводится к совмещению с плоскостью ее граней. Для гранной поверхности всегда можно построить

развертку.

К наиболее распространенным многогранным поверхностям следует от-

нести призмы и пирамиды.

Развертка поверхности призмы строится в основном двумя способами, с помощью треугольников (триангуляции) и нормальных сечений.

В первом способе каждая грань призмы разбивается на два треугольника, для которых определяются натуральные длины сторон. Затем на плоскости

последовательно строят треугольники в натуральную величину. Способ основан на свойстве «жесткости» треугольника — три отрезка определяют единственный треугольник.

По способу нормальных сечений призма пересекается плоскостью D,

перпендикулярной ее боковым ребрам. Затем определяются длины сторон ломаной линии (сечения), и она (ломаная) развертывается в отрезок прямой.

Через точки, соответствующие положению вершина, проводятся прямые,

перпендикулярные к развертке ломаной. На построенных перпендикулярах откладываются натуральные длины, соответствующих отрезков ребер. Концы ребер последовательно соединяются отрезками прямых.

При необходимости к построенной развертке боковой поверхности

призмы пристраиваются натуральные фигуры оснований призмы.

Способ нормальных сечений эффективен, если ребра призмы являются

линиями уровня. Если же при этом основания призмы расположены в плоскостях уровня, то реализуется частный случай этого способа — способ раскатки(рисунок 10.4).

Построение развертки поверхности пирамиды сводится к отысканию ис-

тинных величин граней этой призмы и последующему совмещению их с плос-

костью. Для нахождения истинных величин граней необходимо (каким-либо

способом) найти натуральные длины всех ребер пирамиды (рисунок 11.33).

Развертки поверхности вращения.

Для таких поверхностей, как цилиндрическая и коническая поверхности вращения, могут быть вычислены все параметры необходимые для точной развертки.

Отсек цилиндра вращения радиуса R и высоты h развертывается в пря-

моугольник h´l (l=2pR). Развертка усеченного цилиндра представлена на ри-

сунке 11.31.

Отсек конуса вращения с высотой h и радиусом основания R развертывается в круговой сектор, радиус которого равен длине образующей отсека конической поверхности ( l = h2 + R2 ),а его центральный уголa=2pR/l.

Построение разверток поверхностей начинается с аппроксимации их

многогранными поверхностями, базирующейся на линейной аппроксимации

направляющих. Как правило, кривая заменяется вписанной ломаной. Проиллюстрируем все выше сказанное примерами.

Развертка боковой поверхности усеченного конуса вращения представлена на рисунке 10.3.

Развертывание боковой поверхности усеченного конуса, в общем случае,

производится по схеме развертывания поверхности пирамиды.

Коническая поверхность заменяется вписанной в нее поверхностью пирамиды. Построение развертки будет тем точнее, чем больше граней имеет пирамида, заменяющая коническую поверхность.

Истинные величины отрезков образующих (А1,…,K7), определятся на

очерковой образующей конуса.

Развертка боковой поверхности наклонного кругового цилиндра показана на рисунке 10.4. На первом этапе в цилиндрическую поверхность вписывается призма, основанием которой служит многоугольник с n сторонами.

Достаточная точность аппроксимации может быть получена при длине стороны равной четверти радиуса окружности. В силу того, что рассматриваемая

поверхность симметрична относительно фронтальной плоскости уровня, достаточно построить развертку лишь одной ее половинки.

Развертка вписанной призмы выполняется по способу раскатки. Некоторая фронтальная плоскость совмещается с ребром АА’. Затем с ней совмещаются боковые грани призмы последовательным вращением их вокруг соответствующих ребер.

Вращением вокруг ребра АА’ грань АВВА совмещается с плоскостью.

Построение совмещенного положения ребра ВВ’ базируется на том, что точки

В и В’ вращаются в плоскостях перпендикулярных ребру АА’, и равноотстоят

от точек А, А’. Для построения точек В и В’ на развертке через их фронталь-

ные проекции В2 и В2’ проводятся следы фронтально-проецирующих плоско-

стей D,D’^АА’, на которых фиксируется положение точек В. Далее, аналогич-

ным образом строится грань ВСС’В’ и т. д.