43)Конические сечения. Примеры построения конических сечений

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ-плоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину.

Секущая плоскость, не проходящая через вершину конуса вращения, оставляет на нем след в виде кривых 2-ого порядка Если плоскость пересекает все образующие конуса, то получается замкнутая кривая: окружность или эллипс. Если же секущая плоскость параллельна к одной или к двум образующим, то результат пересечения – кривая, имеющая одну или две несобственные точки. Это – парабола или гипербола. Все зависит от степени наклона секущей плоскости относительно оси вращения в сравнении с половинным углом при вершине конуса:

Если  , то – окружность,

Если  , то – эллипс,

Если  , то – парабола,

Если  , то – гипербола.

Три основных типа конических сечений: а – эллипс, б – парабола, в – гипербола.

Примеры построения конических сечений.

Построение овала, вписанного в ромб.

1. Строят ромб со стороной, равной диаметру изображаемой окружности (рис. 96, а). Для этого через точку О проводят изометрические оси х и у и на них от точки О откладывают отрезки, равные радиусу изображаемой окружности. Через точки a, w, с и d проводят прямые, параллельные осям; получают ромб. Большая ось овала располагается на большой диагонали ромба.

2. Вписывают в ромб овал. Для этого из вершин тупых углов (точек А и В) описывают дуги радиусом R, равным расстоянию от вершины тупого угла (точек А и В) до точек a, b или с, d соответственно. Через точки В и а, В и b проводят прямые (рис. 96, б); пересечение этих прямых с большей диагональю ромба дает точки С и D, которые будут центрами малых дуг; радиус R1 малых дуг равен Са (Db). Дугами этого радиуса сопрягают большие дуги овала. Так строят овал, лежащий в плоскости, перпендикулярной к оси z (овал 1 на рис. 95). Овалы, находящиеся в плоскостях, перпендикулярных к осям х (овал 3) и у (овал 2), строят так же, как овал 1., только построение овала 3 ведут на осях у и z (рис. 97, а), а овала 2 (см. рис. 95) - на осях х и z (рис. 97, б).

Рис.97

Построение параболы

Построение параболы может быть выполнено различными способами:

1) по заданным фокусу F и направляющей MN;

2) по двум заданным в точках К и L касательным к параболе.

Построение параболы по заданным фокусу F и направляющей MN. Через фокус F проводят ось параболы перпендикулярно направляющей MN - получают точку В (фиг.154,а). Отрезок FB делят пополам - получают точку А — вершину параболы; от нее на оси по направлению к фокусу F откладывают несколько произвольных, постепенно увеличивающихся отрезков 1 - 2; 2 - 3 и т. д. Через точки 1, 2, 3 и т. д. проводят прямые, параллельные направляющей MN.

Приняв за центр точку F радиусом R1 = 1B делают засечки I и I1 на первой параллельной прямой, проведенной через точку 1 радиусом R2 = 2B делают засечки II и II1 на второй параллельной прямой, проведенной через точку 2, и т. д. Полученные точки I, I1, II, II1 и т.д. принадлежат параболе. Через полученные точки проводят кривую - искомую параболу (фиг.154,б).

Построение параболы по двум заданным касательным к ней в точках К и L. Касательные образуют угол KAL, стороны которого КА и AL делят на одинаковое число равных частей. Полученные одноименные точки деления соединяют прямыми (фиг.155,а). В получившуюся внутри угла ломаную линию вписывают кривую - параболу (фиг.155,б).

Построение гиперболы.

Построение гиперболы по заданным вершинам А и В и фокусному расстоянию F1F2.

Проводят прямую и намечают на ней заданные вершины А и В и фокусы F1 и F2 (фиг.158,а); левее фокуса F1 откладывают некоторое количество произвольных, постепенно увеличивающихся отрезков 1 - 2, 2 - 3 и т. д. Приняв за центры фокусы F1 и F2, проводят две дуги радиусом R1 = 1B, затем из тех же центров проводят две дуги радиусом R1 = 1A. В результате получают четыре точки пересечения, которые обозначают I, I, I1 и I1.

Из тех же центров F1 и F2 проводят дуги радиусами R2 - 2B и R3 = ЗВ и пересекают их дугами, проведенными из тех же центров радиусами R'2 = 2А и R'3 = ЗА (фиг.158,б).

Через полученные точки пересечения и вершину гиперболы (т. е. через точки III1, II1, I1, А, I1, II1, III1) проводят кривую - одну ветвь гиперболы, а через точки III, II, I, В, I, II, III - кривую - вторую ветвь гиперболы.

Построение равнобокой гиперболы по заданным асимптотам и точке К, принадлежащей гиперболе.

Через данную точку К проводят вспомогательные прямые, параллельные заданным асимптотам (фиг.159,а).

Из точки О проводят произвольно наклоненные лучи. Из точек их пересечения с вспомогательными прямыми проводят навстречу одна другой прямые, параллельные асимптотам. Точки L и М их пересечения явятся точками, принадлежащими гиперболе (фиг.159,б).

Кривая, проведенная через точки L, К и М, явится искомой гиперболой (фиг.159,в).