37)Пересечение многогранника плоскостью общего положения
Рассмотрим построение сечения LMN призмы АВСА'В'С' плоскостью общего положения (DEF).
Грани и ребра призмы перпендикулярны П1, а поэтому проецируются на П1 в стороны и вершины треугольника А1В1С1. Для построения фронтальной проекции сечения найдем линии пересечения граней пирамиды с плоскостью DEF.
Алгоритм построения:
Отмечаем точки 11 и 21: 11 = А1В1 Е1D1, 21 = А1В1 Е1F1.
Проводим линии проекционной связи через точки 11 и 21 и находим точки 12 и 22: 12 Е2D2, 22 Е2F2.
Проводим прямую 1222 до пересечения с проекциями ребер пирамиды в точках М2 и L2.
Отмечаем точки 31 и 41: 31 = А1С1 Е1D1, 41 = А1С1 D1F1.
По линиям связи находим точки 32 и 42: 32 Е2D2, 42 D2F2.
Проводим прямую 3242 до пересечения с проекцией ребра в точке N2.
Соединяем точки L2, M2 и N2.
Треугольник L2M2N2– искомая вторая проекция сечения LMN призмы АВСА'В'С' плоскостью общего положения (DEF).
Определяем видимость секущей плоскости и сечения с помощью метода конкурирующих точек.
Если ребра пирамиды являются прямыми общего положения, то можно преобразовать чертеж так, чтобы ребра призмы стали проецирующими. В этом случае можно найти точки пересечения ребер призмы с плоскостью сечения.
Для нахождения точек М, N, L – точек пересечения ребер пирамиды с плоскостью (EDF) заключим ребра во фронтально проецирущие плоскости s, m, t, которые параллельны между собой.
Алгоритм построения:
Обозначаем s2 – вырожденную проекцию плоскости s: s2 = А2А'2.
Отмечаем точки 12 и 22: 12 = s2 D2F2, 22 = s2 E2F2.
По линиям проекционной связи находим точки 11 и 21.
Отмечаем точку L1 - точку пересечения прямой 1121с ребром А1А'1: L1 = 1121 А1А'1.
Находим точку L2: L2 А2А'2.
Обозначаем m2 – вырожденную проекцию плоскости m, m2 = B2B'2.
Отмечаем точку 32: 32 = m2 Е2F2.
Находим точку 31: 31 Е1F1.
Через точку 31 проводим прямую, параллельную прямой 1121. Отмечаем точку М1: М1 B1B'1.
10) Находим точку M2: M2 B2B'2.
11) Обозначаем t2 – вырожденную проекцию плоскости t, t2 = C2C'2..
12) Отмечаем точку 42: 42 = t2 Е2F2.
13) Находим точку 41: 41 Е1F1.
14) Через точку 41 проводим прямую, параллельную прямой 1121. Отмечаем точку N1: N1 C1C'1.
15) Находим точку N2: N2 C2C'2.
16)Соединяем проекции точек L, М, N: L1M1N1 и L2M2N2 – проекции сечения призмы плоскостью (DEF).
17) Определяем видимость ребер пирамиды, секущей плоскости и сечения с помощью метода конкурирующих точек.
38) Пересечение прямой линии с многогранником. Общий алгоритм решения задачи.
Пересечение прямой с поверхностью многогранника
Прямая с многогранной поверхностью может не иметь точек пересечения, может касаться в одной точке и может пересекать многогранную поверхность в нескольких точках, причем четное количество раз. Если многогранник выпуклый, то существует только две точки пересечения прямой с многогранной поверхностью.
Рассмотрим общий алгоритм решения этой задачи на следующем примере (рис. 6.7). Дана трехгранная призма и прямая а — общего положения. Требуется найти точки пересечения M и N.
Алгоритм построения точек пересечения прямой с многогранной поверхностью:
Заключаем прямую a во вспомогательную плоскость s: a s.
Плоскость s пересекает многогранник по ломаной KLP.
Ломаная KLP пересекается с прямой a в точках N и M. Точки N и M — искомые точки пересечения прямой a с многогранником.
Выбор положения вспомогательной плоскости s осуществляется, исходя из точности и простоты построений. Теперь рассмотрим на чертеже пример построения точек пересечения прямой а общего положения с трехгранной призмой ABCA'B'C' (рис. 6.8). Для этого через прямую а проведем фронтально проецирующую плоскость s: а s.
Алгоритм построения:
Через a2 вводим вспомогающую проецирующую плоскость s П2, a2 = s2
Отмечаем проекции K2, P2, L2 точек K, P, L, где K AA', P BB', L CC'.
Из условия принадлежности определяем их первые проекции K1, P1, L1.
При пересечении a1 с треугольником K1P1L1 получаем горизонтальные проекции N1 и M1 точек пересечения N и M прямой a с поверхностью призмы.
Находим точки N2 и M2: N2 a2, M2 a2 с помощью линий связи. Точки N2 и M2 — вторые проекции искомых точек пересечения прямой а с поверхностью призмы.
Определяем видимость прямой с помощью метода конкурирующих точек.
