Упражнения.

1.Решить неравенство

Решение. Прежде всего находим точки, в которых обращаются в нуль выражения под знаком модуля: Точками и делим числовую прямую на три промежутка: и рассматриваем исходное неравенство на каждом промежутке в отдельности. На первом промежутке ( ) неравенство принимает вид так как для и , значит, по определению модуля. Не все найденные нами решения ( ) попадают в промежуток , для указанных промежутков ( и ) мы должны выбрать общие точки, т.е. найти персечение множеств Следовательно, весь промежуток является решением исходного неравенства. Если же , то . Неравенство в этом случае примет вид: . Все точки промежутка удовлетворяют неравенству и, следовательно, являются решением исходного неравенства. На третьем промежутке ( ) исходное неравенство равносильно системе . Объединяя все найденные решения, получим решение исходного неравенства: . Аналогично рассматриваются уравнения, содержащие неизвестную величину под знаком модуля.

2. Решить уравнения:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7. 8) 9)

10) 11) 12)

13). 14) 15)

16) 17) 18)

19). 20) 21)

3. Решить неравенства и изобразить решения на числовой оси:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

9) 10) 11)

3. Изобразить на координатной плоскости множества точек, координаты которых удовлетворяют следующим соотношениям:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) 12)

13) 14) 15)

16) 17) 18)

19) 20) 21)

22) 23) 24)

22) 26 28)

Ни одно человеческое исследование

не может называться истинной наукой,если оно не прошло через

математические доказательства.

Леонардо да Винчи.

§6.4. Границы числовых множеств.

Пусть Х – некоторое непустое числовое множество.

Множество Х называется ограниченным сверху, если существует такое число М, что каждое число х из множества Х не превосходит числа М, т.е. число М называется верхней границей (или гранью) множества Х.

В этом случае все точки х из множества Х расположены слева от точки М. Так, множество Х={-1, -2, -3, -4, ...} ограничено сверху любым числом . Каждое такое число является верхней границей данного множества. Множество N={1, 2, 3, ...} не будет ограниченным сверху, так как для любого числа М, каким бы большим оно ни было, найдется целое положительное число из множества N большее М.

М ножество Х называется ограниченным снизу, если существует такое число m, что каждое число х из множества Х не меньше числа m, т.е. число m называется нижней границей (или гранью) множества Х.

В этом случае все точки х из множества Х расположены справа от точки m. Например, множество N={1, 2, 3, ... } ограничено снизу любым числом . Каждое такое число является нижней границей данного множества. Множество Х={-1, -2, -3, -4, ...} не будет ограниченным снизу, так как для любого числа m, каким бы большим оно ни было, найдется целое отрицательное число из Х меньшее m.

Множество Х называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу, т.е. если существуют такие числа m и М, что каждое число х из множества Х удовлетворяяет неравенству .

Например, множество Х=(0, 1] ограничено и сверху и снизу. Сверху оно ограничено любым числом , а снизу – любым числом . Множество Z={..., -1, 0, 1, 2, ...} не является ограниченым ни снизу, ни сверху (почему?). Условимся считать пустое множество  ограниченным.

Ограниченность множества Х равносильна существованию такого положительного числа С, что каждый элемент множества Х удовлетворяет неравенству .

В самом деле, если множество Х ограничено, то существуют такие числа m и M, что каждое число х из множества Х удовлетворяет неравенству . Пусть С есть наибольшее из чисел и . Тогда, очевидно, , т.е. . И наоборот, если для любого верно неравенство , то , т.е. множество Х ограничено (числом снизу и числом сверху).

Всякое ограниченное сверху (снизу) множество имеет бесконечно много верхних (нижних) границ, а ограниченное множество имеет бесконечно много и верхних , и нижних границ одновременно.

В самом деле, если М есть верхняя грань множества ,то и всякое число М+произвольное положительное число также является верхней гранью( ?), если же m есть нижняя грань множества ,то и всякое число m-произвольное положительное число также является нижней гранью( ?).

Наименьшая из всех верхних границ ограниченного сверху множества Х называется точной верхней границей (гранью) множества Х и обозначается supX (sup – первые буквы латинского слова supremum – верхний); наибольшая из всех нижних границ ограниченного снизу множества Х называется точной нижней границей (гранью) множества Х и обозначается inf X (inf– первые буквы латинского слова infimum – нижний).

Возникает вопрос: всякое ли ограниченное сверху (снизу) множество имеет точную верхнюю (нижнюю) границу? Ответ на эти вопросы дает следующая

Теорема (о существовании точных границ).

Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) множество Х имеет (единственную!) точную верхнюю границу (точную нижнюю границу ).

Из теоремы следует, что

всякое ограниченное множество имеет одну точную верхнюю и одну точную нижнюю границы.

Например, .

Отметим важнейшие свойства точных границ числовых множеств.

Пусть . Тогда:

1. для каждого , ибо есть нижняя граница множества Х;

2. д ля любого всегда найдется элемент из Х такой, что (в противном случае не было бы точной нижней границей множества Х, почему?);

3. если m – какая-либо нижняя граница множества Х, то , ибо – наибольшая из всех нижних границ Х.

Пусть . Тогда:

4. для каждого х из Х, ибо есть верхняя граница множества Х;

5. д ля любого всегда существует элемент из Х, такой, что (в противном случае не было бы точной верхней границей множества Х, почему?);

6. если М – какая-либо верхняя граница множества Х, то , ибо – наименьшая из всех верхних граней множества Х.

Точные границы множества могут принадлежать множеству и могут не принадлежать ему.

Так, точная верхняя граница sup{-1, -2, -3, ...} принадлежит этому множеству. не принадлежит множеству , не принадлежит ему, принадлежит этому множеству.

Считают, что , если множество Х не ограничено сверху, , если множество Х не ограничено снизу. Значит, . Полагают, что inf  , sup  .

Из сказанного выше вытекает, что всякое числовое множество имеет точную нижнюю границу (конечную или бесконечную) и точную верхнюю границу (конечную или бесконечную).

Пусть М – наибольший элемент числового множества Х, т.е. . Тогда (докажите!). Если же m – наименьший элемент числового множества Х, т.е. , то (докажите!).

Заметим,что множество может не иметь ни наибольшего ,ни наименьшего элемента,но иметь точные границы. Например, . Однако, множество (0,1) не имеет ни наименьшего ,ни наибольшего элемента (докажите!).