Основные тригонометрические формулы. Формулы сложения

, .

, .

Из предыдущих формул находим:

, .

.

Полагая , находим:

, . ..

Далее: . Таким образом, – формула сложения для тангенса, откуда при получаем: .

Из формулы для при имеем: .

Полагая в формулах сложения , мы получим формулы приведения для тригонометрических функций. Так, в частности, . Аналогично, и т.д..

Элементарной функцией называется каждая функция, которая получена из основных элементарных функций при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и композиции функций.

Так,элементарными функциями являются гиперболические функции:

(гиперболический синус), (гиперболический косинус), = (гиперболический тангенс), (гиперболический котангенс) . Графики этих функций имеют вид:

Формулы , ,

являются основными для гиперболических функций и напоминают соответствующие формулы для тригонометрических функций.

Множество всех элементарных функций состоит из алгебраических и трансцендентных функций.

Каждая функция , удовлетворяющая при некотором N уравнению

,

где – многочлены относительно переменной х, называется алгебраической.

В свою очередь, любая алгебраическая функция является либо рациональной, либо иррациональной.

К рациональным функциям относятся многочлены вида , которые называются целыми рациональными функциями, и дробные рациональные функции , где – многочлены.Иррациональной функцией называется всякая функция, для вычисления значений которой применяются все те же операции, что и для рациональных функций, и операция извлечения корня (любой степени).

Так, функция является иррациональной.

Функция не являющаяся иррациональной называется трансцендентной.

Так, трансцендентными функциями являются показательная и логарифмическая функции, тригонометрические и обратные тригонометрические функции, гиперболические функции.

Пусть и – элементарные функции и .

Функция называется степенно-показательной и, очевидно, является элементарной функцией.

В заключение отметим, что существуют и неэлементарные функции, т.е. функции для вычисления значений которых недостаточно операций, перечисленных в определении элементарной функции.

Вопросы и задания для самопроверки.

1. Назовите основные элементарные функции.

2. Как зависит область определения и поведение степенной функции от показателя ?

3. Как изменяется показательная функция в зависимости от основания а?

4. Докажите, что показательная функция не является периодической.

5. При каких х и у верно равенство ?

6. Является ли логарифмическая функция обратной к показательной функции ?

7. Для каких х и у верны соотношения: ?

8. Назовите основные свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций.

9. Какие функции называются элементарными?

10. Приведите определения и примеры алгебраической и трансцендентной функций.

11. Какими свойствами обладают гиперболические функции?

12. Приведите примеры иррациональных функций.