Вопросы и задания для самопроверки.

1. Дайте определение окрестности точки. Приведите примеры окрестностей.

2. Докажите, что в любой окрестности О(а) точки а содержится симметричная -окрестность , и наоборот. Приведите конкретные примеры.

3. Дайте определение внутренней точки множества и открытого множества. Приведите примеры открытых множеств.

4. Докажите, что интервал (a, b) – открытое множество.

5. Докажите, что объединение любого семейства открытых множеств – открытое множество. Приведите примеры.

6. Докажите, что пересечение конечного числа открытых множеств – открытое множество. Приведите примеры.

7. Может ли быть открытым пересечение бесконечного семейства открытых множеств? Приведите примеры.

8. Что такое предельная точка множества?

9. Всегда ли предельная точка множества принадлежит множеству? Приведите примеры.

10. Докажите, что множество {0, 1, 3} не имеет предельных точек. Имеет ли оно внутренние точки?

11. Докажите, что каждая точка отрезка [a, b] является предельной точкой этого можества.

12. Докажите, что точки a и b интервала (a, b) являются предельными точками этого множества.

13. Докажите, что в любой проколотой окрестности предельной точки а множества Х содержится бесконечно много различных точек данного множества.

14. Дайте определение замкнутого множества. Приведите примеры.

15. Может ли быть замкнутым открытое множество?

16. Приведите примеры открытых ограниченных и неограниченных множеств.

17. Может ли быть замкнутым неограниченное множество? Приведите примеры.

18. Докажите, что объединение двух замкнутых множеств – замкнутое множество. Приведите примеры.

19. Докажите, что пересечение любого семейства замкнутых множеств – замкнутое множество.

20. Приведите пример объединения бесконечного семейства замкнутых множеств, которое не является замкнутым множеством.

21. Дайте определение граничной точки множества. Всегда ли граничная точка множества принадлежит этому множеству?

22. Докажите, что множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит свою границу.

23. Какое множество называется компактным? Приведите примеры компактных и некомпактных множеств.

Упражнения.

1. Может ли быть пересечение открытого и замкнутого множества открытым?, замкнутым?, компактным множеством?

2. Докажите, что всякое конечное множество – компактное множество.

3. Будет ли объединение двух компактных множеств компактным множеством?

4. Всегда ли пересечение двух компактных множеств – компактное множество?

5. Является ли пересечение компактного множества и ограниченного множества компактным множеством?

6. Являются ли компактными множества: ? ? ? ? ? ?

Мы никогда не стали бы разумными, если бы исключили число из человеческой природы.

Платон.

§6.6. Первоначальные сведения о функциях.

1.Понятие функции.

Пусть Х и Y – произвольные не пустые числовые множества, переменная величина х изменяется на множестве Х, а значения перменной величины y принадлежат множеству Y.

Если каждому числу х из множества Х ставится в соответствие по некоторому закону (правилу) f одно и только одно число у из множества Y, то говорят, что на множестве Х определена функция y, записывают это так: . Переменная х называется независимой переменной (или аргументом) функции у, а у –зависимой переменной (или функцией). В записи функции символ указывает на операции, которые нужно выполнить над переменной х, чтобы получить значение переменной у.

Множество Х называется областью определения функции и обозначается D(y). Cовокупность значений функции обозначается E(y) и называется областью изменения (или множеством значений) функции.

Например, формула задает функцию у, значения которой вычисляются по правилу f, которое заключается в возведении числа х в квадрат. Так, числу соответствует . Так как для каждого числа можно вычислить значение у, то . Любое значение функ

ции у является неотрицательным числом, поэтому множество ее значений . Множества D(y), E(y) заштрихованы на рисунке .

Ф ормула задает функцию, значения которой вычисляются по следующему правилу. Для конкретного х вычисляется значение многочлена , а затем уже из полученного числа извлекается корень. Так, числу соответствует . Здесь аргумент х может принимать лишь те значения, для которых , так как квадратный корень (как и всякий корень четной степени) определен для неотрицательных чисел. Значит, Легко видеть, что здесь .

Иногда ,приходится принимать за функцию переменную величину х, а за аргумент переменную величину у. Так, формула не определяет переменную у, как функцию от переменной х, потому что из формулы следует, что , и, значит, каждому положительному числу х соответствуеют два значения переменной у. Например, если то .Однако формула определяет переменную х как функцию от переменной у,так как каждому значению у соответствует одно значение переменной х.В этом случае область определения функции х совпадает с множеством D(x)=(-,+),т.е. переменная у,как аргумент функции х, изменяется на множестве , а множество значений функции х есть множество . Если же считать, что переменная х изменяется на множестве , а переменная у изменяется на множестве , то формула будет уже определять переменную у как функцию переменной х, так как из формулы следует, что , (ведь ), и, следовательно, каждому значению будет соответствовать только одно значение .

Здесь Если же считать, что переменная х изменяется на множестве , то формула будет определять функцию у от х, которыая задается формулой . Здесь (Рис.12)

Таким образом, формула определяет две функции и , для которых переменная х играет роль аргумента или одну функцию , для которой аргументом является переменная у.

Из рассмотренных примеров вытекает, что формула связывающая пременные х и у, определяет функцию от переменной х или функцию от переменной у в зависимости от того, на каких множествах Х и Y изменяются соответствующие переменные х и у. Например, формула определяет две функции: и . Для первой функции , для второй функции (см. рис. 13).

Термин «функция» ввел в 1692 г. Лейбниц. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) – немецкий математик, философ, юрист,геолог, историк, теолог, экономист, библиотекарь и лингвист. Он основал Берлинскую Академию наук, занимался всю жизнь поисками универсального метода с целью сведения всех умозаключений к вычислениям. Лейбниц позже Ньютона, но независимо от него, заложил основы математиче

ского анализа, им была изобретена вычислительная машина, введено понятие определителя. Современное обозначение функции было введено в 1748г. Леонардом Эйлером. Леонард Эйлер (1707-1789) был величайшим математиком. Являясь членом Академии наук в Санкт-Петербурге, он долгое время работал в России. Последние 13 лет своей жизни Эйлер провел в полной слепоте, диктуя свои работы ученикам. До сих пор не все его работы опубликованы, хотя уже вышло 70 объемистых томов его трудов.

Графиком функции определенной на множестве Х, называется множество всех точек плоскости хОу, где .

Функции задаются аналитически (формулами), словесным описанием зависимости между переменными х и у, графически и с помощью таблиц.

Например, функция знака

задается разными формулами для различных частей числовой прямой. Здесь Обозначение sgn происходит от латинского слова signum, что означает «знак».

Немецкий математик Дирихле (1805-1859) ввел в рассмотрение функцию

где Q – множество рациональных чисел. Данная функция играет важную роль в анализе. Она определена на множестве R. Множество ее значений состоит из двух чисел 0 и 1. Заметим, что построить график данной функции невозможно.

Приведем пример словесного задания функции: поставим в соответствие каждому действительному числу х наибольшее целое число у, не превосходящее число х. Эта функция обозначается и называется целой частью числа х. График данной функции изображен на рисунке

Зависимость между х и у можно задать графически. В этом случае для каждого х из множества Х легко найти соответствующее значение функции у. Графический способ удобен своей наглядностью. К недостаткам следует отнести его неточность.

Табличный способ задания функции состоит в задании числовых значений аргумента х и соответствующих числовых значений у. Например,

х	1	2	3	4	5	6
у