§6.9. Элементарные функции.

К основным элементарным функциям относятся следующие функции:

1. Степенная функция Область определения, множество значений и свойства степенной функции зависят от знака и величины показателя Если – несократимая положительная рациональная дробь с нечетным знаменателем, то . при четном m, а при нечетном m: . Степенная функция будет четной, если m – четное число, и нечетной, если m – нечетное число. Для остальных положительных чисел за область определения степенной функции принимают множес тво . Если является отрицательным числом, то из области определения степенной функции исключается точка . Графиком степ енной функции при является прямая линия .Парабола 2-го, 3-го, 4-го,... порядков является графиком степенной функции соответственно при

П ри график степенной функции представляет собой гиперболу 1-го, 2-го, 3-го, ... порядков .

Основные формулы для степенных функций.

, , , ,

, .

2. П оказательная функция возрастает при и убывает при , . График показательной функции изображен на рисунке.

Основные формулы для показательной функции.

, , , , .

2. Логарифмическая функция

является обратной к показательной функции, и, следовательно, возрастает при и убывает при , =R.

Основные формулы для логарифмической функции

, , , , , , .

4. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

1^о , . Данная функция является нечетной, т.к. , и периодической с периодом . (Рис. 41)

Сужение функции на отрезок (график сужения изображен утолщенной линией на рис.41) является строго возрастающей функцией и, следовательно, имеет обратную функцию.

2^о , . График функции получается зеркальным отображением утолщенной части синусоиды относительно прямой (рис. 42). Из определения обратной функции следует, что . Так как , то функция является нечетной.

Основные значения

х	0							1	-1
	0

3 ). , . Данная функция является четной, т.к. , и периодической с периодом .

Сужение функции на отрезок (график сужения изображен утолщенной линией) является строго убывающей функцией и, следовательно, имеет обратную функцию.

4 ). , . График функции получается зеркальным отображением утолщенной части косинусоиды относительно прямой . Из определения обратной функции следует, что .

Основные значения фунуции у= :

х	0							1	-1
								0

5 ). , . Данная функция является нечетной и периодической с периодом .

Сужение функции на интервал является строго возрастающей функцией и, следовательно, имеет обратную функцию.

6 ). , для которой . Так как , то функция является нечетной. Из определения обратной функции следует, что .

Основные значения функции у= :

х	0	1	-1
	0

7 ). , . Данная функция является нечетной и периодической с периодом .

Сужение функции на интервал является строго убывающей функцией и, следовательно, имеет обратную функцию.

8). , для которой Из определения обратной функции следует, что

.

.

Основные значения функции у= :

х	0	1	-1