66

Ф.В.Чумаков

В Ы С Ш А Я М А Т Е М А Т И К А

Гл. 6.

Введение в математический анализ

Учебное пособие

Минск 2003

Высшая математика. Гл.6. Введение в математический анализ. Учебное пособие. Автор Чумаков Ф.В.;Институт парламентаризма и предпринимательства.—Минск.- 71 стр..

Печатается по решению научно –методического

Совета И П П

( протокол № 3 от 16.10. 2002 г. )

Рецензенты:

кафедра теории функций Белорусского государственного университета ( зав. кафедрой доктор физико-математических наук, профессор А. А. Килбас),Лазакович Н.В., доктор физико-математических наук, профессор кафедры функционального анализа Белорусского государственного университета.

Содержание

Введение………………………………………………………………… .5

§6.1.Множества…………………………………………………….…………6

§6.2.Операции над множествами………………………………………….13

§6.3.Модуль числа…………………………………………………………..16

§6.4.Границы числовых множеств .……………………………………...21

§6.5. Открытые и замкнутые множества ………………………..…..…..29

§6.6.Первоначальные сведения о функциях ……………………….…..42

§6.7.Обратная функция………………………………………………..…...44

§6.8.Сложная функция………………………………………………….….50

§6.9.Элементарные функции……………………… . ………………..…53

§6.10.Метод математической индукции………………………………....63

Литература………………………………………………...71

Основные символы

Символ	Название	Смысл
	Знак (или квантор) общности	Запись х заменяет выражения: любой х, для каждого х, для всех х
	Знак (или квантор) существования	Запись х равносильна каждому из выражений: существует х, имеется х, найдется х
	Знак импликации (или следования)	Запись АВ означает, что из А следует ( вытекает ) В, или В является необходимым условием для А, а А - достаточным условием для В
	Знак равносильности (или эквивалентности)	Запись АВ означает, что из А следует В и из В следует А, т.е. А равносильно В, или А является необходимым и достаточным условием для В (и наоборот), А тогда и только тогда, когда В
	Знак конъюнкции	Запись АВ означает что имеет место А и В, т.е. заменяет союз “и”
V	Знак дизъюнкции	Запись АVВ означает, что имеет место, по крайней мере, одно из высказываний А,В, заменяет союз “или”
	Знак принадлежности	аА означает, что а является элементом множества А
	Знак непринадлежности	аА означает, что а не является элементом множества А
	Знак множества	{a,b,c,...} - множество, состоящее из элементов a,b,c,...
	Знак множества по признаку	{x | xX, p(x)} - совокупность элементов множества Х, обладающих признаком p(x)
	Знак суммы	Запись есть краткая запись суммы
	Знак факториала	n! Означает произведение всех целых чисел от 1 до n
	Знак включения	Запись АВ означает , что А является подмножеством множества В, или множество А содержится во множестве В
	Знак объединения	Множество АВ состоит из элементов множества А и элементов множества В
	Знак пересечения	Запись АВ означает множество, состоящее из элементов, принадлежащих и А и В одновременно
\	Разность множеств	Запись А\В означает множество, состоящее из элементов А, не входящих в В

В в е д е н и е.

Множество и функция являются основными понятиями , без свободного владения которыми невозможно серьезное изучение математического анализа и других разделов высшей математики. Разъяснение этих понятий проводится на типовых примерах, для решения которых студент должен, как правило, повторить материал школьной математики, восстановить и закрепить навыки, приобретенные в школе.

Пособие состоит из десяти параграфов,содержание которых тесно связано с понятиями множества и функции. В конце каждого параграфа приводится перечень вопросов для самостоятельного контроля степени усвоения материала и упражнения для самостоятельной работы.

Первые два параграфа посвящены множествам – фундаменту, на котором строится здание математики. Для более детального изучения числовых множеств вводится понятие модуля и изучаются его свойства (§6.3). В §6.4 изучаются границы числовых множеств, формулируется теорема о существовании точных границ, которая применяется, например, при строгом доказательстве существования предела монотонной ограниченной последовательности. Открытые и замкнутые множества, рассмотренные в §6.5, играют важную роль при изучении свойств непрерывных функций. Понятие функции является центральным, ему посвящен §6.6. В §6.7 дается понятие обратной функции, которое, как правило, довольно сложно для усвоения,поэтому оно разъясняется на простых примерах, причем главное внимание уделяется условиям существования обратной функции. Понятие сложной функции изучается в §6.8. Элементарные функции, на базе которых строится математический анализ, изучаются в §6.9. Приводятся простейшие элементарные функции и описываются их свойства.

С методом математической индукции можно ознакомиться §6.10. После усвоения этого понятия становятся простыми и понятными многие важные математические доказательства из теории рядов.

Пособие адресовано ,в первую очередь, студентам .Однако,оно ,на наш взгляд, будет полезным и преподавателям.Его можно применять и как учебник ,и как сборник задач с методикой их решения.

.«В самой математике главные средства достигнуть истины-индукция и аналогия». Лаплас.

«…наиболее изящные новые истины возникают с помощью индукции». Гаусс.

«…математические методы становятся…общими методами для всей науки в целом».Соболев С.Л.

Господь Бог создал целое число, все остальное – дело рук человека.

Л. Кронекер ¹