Система числення в залишкових класах. Її особливість і застосування в обчислювальній техніці.
Система залишкових класів (СОК)
Подання
числа в системі залишкових класів
засноване на понятті вирахування і
китайської теореми про залишки. СОК
визначається набором взаємно простих
модулів
з твором
так, що кожному цілого числа x з відрізка
[0, M - 1] ставиться у відповідність набір
відрахувань
, Де
…
При цьому китайська теорема про залишки гарантує однозначність подання для чисел з відрізка [0, M - 1] .
В СОК арифметичні операції (додавання, віднімання, множення, ділення) виконуються покомпонентно, якщо про результат відомо, що він є цілочисельним і також лежить в [0, M - 1] .
Недоліками
СОК є можливість подання лише обмеженої
кількості чисел, а також відсутність
ефективних алгоритмів для порівняння
чисел, представлених в СОК. Порівняння
зазвичай здійснюється через переклад
аргументів з СОК в змішану систему
числення з підстав
.
Система счисления в остаточных классах. Машинная арифметика СОК.
Система остаточных классов (СОК) – это непозиционная система счисления, числа в которой представляются остатками от деления на выбранную систему оснований Р1, Р2,...,Рn и являются взаимнопростыми числами. Операции сложения, вычитания и умножения над числами в СОК производятся независимо по каждому основанию без переносов между разрядами (основаниями). Диапазон представимых чисел P=P1ЧP2Ч...ЧPn [4].
Если задан ряд положительных взаимнопростых чисел Р1, Р2,...,Рn, то целое положительное число А, представленное в виде набора наименьших положительных остатков (вычетов) от деления числа А на выбранные основания Р1, Р2,...,Рn, можно записать в виде А=(a1, a2,...,an).
Рассмотрим примеры выполнения операций сложения и умножения чисел в СОК. Пусть основаниями системы являются Р1=2, Р2=3, Р3=5, Р4=7. Диапазон представимых чисел в данной системе Р=2Ч3Ч5Ч7=210. Требуется сложить числа А=34 и В=87. По выбранным основаниям числа А и В в СОК будут иметь вид А=(0, 1, 4, 6), В=(1, 0, 2, 3).
Сложим числа А и В
...
Легко проверить, что число А+В, представленное по выбранным основаниям как (1, 1, 1, 2), равно 121.
Пусть требуется умножить числа А=17 и В=8. А=(1, 2, 2, 3), В=(0, 2, 3, 1).
...
В самом деле, число АхВ, представленное по выбранным основаниям как (0, 1, 1, 3), равно 136.
Такие операции, как деление, сравнение и др., требующие информации о величине всего числа, в СОК выполняются по более сложным алгоритмам. И в этом заключается существенный недостаток данной системы счисления, сдерживающий ее широкое применение в качестве компьютерной арифметики. Однако сегодня даже в самых современных компьютерах при работе с большими и супербольшими числами используют СОК, ибо только эта арифметика позволяет получать результаты вычислений в реальном времени. В таких случаях в качестве оснований СОК применяют величины, близкие к 2m (m – двоичная разрядность компьютера), например 2m-1-1, 2m-1, 2m-1+1 и т.д. Компьютер вычисляет результат по одному из модулей за один проход. Другие области применения СОК – помехоустойчивое кодирование, криптография и т.п.