1. Операция объединения 

Операция объединения множеств является моделью композиции системы из известных подсистем и формализует собой представления об полном составе технических средств системы.

С = А  В = {c / c A  c B}

1. Рефлексивность A = А  A

2. Симметричность А  B = B  A

А   = А

2. Операция пересечения 

В

А

Операция пересечения множеств является моделью множества элементов связи, т.е. элементов, объединяющих отдельные подсистемы в систему.

С = А  В = {c / c A  c B}

1. Рефлексивность A = А  A

2. Симметричность А  B = B  A

А   =

  А  В  А  А  В

Если А  В = - нет общих элементов - запись формально отображает тот факт, что у систем А и В нет общих элементов, т.е. эти системы не связаны между собой и должны рассматриваться как изолированные друг от друга

m(А  В) = m(A) + m(B) – m(А  В)

m(А  В) = m(A) + m(B) - m(А  В)

В тех случаях, когда в процессе проектирования необходимо формализовать средства, которые не входят в состав рассматриваемой системы, но влияние которых должно учитываться при анализе поведения системы используются теоретико – множественные понятия дополнения множества или множеств. Различают абсолютные и относительные дополнения.

3. Абсолютное дополнение

Внешняя среда системы.

21. Теоретико-множественная модель внутренней структуры БТС.

Рассмотренные выше операции теории множеств позволяют сформировать теоретико-множественную модель состава любой системы.

Модель состава может быть преобразована в модель структуры путем наложения на нее системы отношений, характеризующих связи между элементами подсистем.

Модель структуры отражает организацию системы.

Модель внутренней структуры систем с явно выраженными связями может быть задана как прямое или декартовое произведение конечного количества множеств.

С = АВ = {< a , b > | aA, bB}

Модель в виде декартового произведения представляются множеством упорядоченных пар, определяющих отношения или связи между элементами рассматриваемых подсистем.

В случае, когда система состоит из нескольких подсистем, модель внутренней структуры имеет вид декартового произведения n множеств.

A = A₁A₂… A_n= {< a₁, a₂,…, a_n > | a₁ A₁, a₂ A₂, …, a_n A_n}

22. Теоретико-множественная модель внешней структуры БТС.

Процесс эксплуатации ИИС рассматривается нами как процесс взаимодействия ИИС со средой ( среда - это все то, что входит в окружение системы при данном ее рассмотрении).

Под теоретико- множ. Моделью внешней струкуры, будем понимать ввиде декартового произведения 2ух множеств, первое из кот A_{i –} явл моделью внутр стр-ры сиситемы, а A_j – моделью во внешней среде.

Поскольку процесс взаимодействия ИИС со средой охватывает конечное число объектов, то в качестве модели взаимодействия может выступать прямое произведение множеств:

A=A_iA_j={<a_i,a_j> | a_iA_i, a_jA_j }

Здесь A_i и A_j являются формальными объектами, отображающими ИИС (A_i A_j ) и среду (A_i A_j), которые связаны отношениями, характеризующими связи между ИИС и средой в процессе их взаимодействия.

Для более детального отображения взаимодействия ИИС со средой позволяющего учесть состав среды и ИИС, а также их внутреннюю структуру используется прямое произведение вида:

A=A₁A₂…A_n={ <a₁,a₂,…, a_n> | a₁A₁, a₂A₂,…, a_nA_n }

Здесь A_i - формальное отображение некоторого объекта или фактора, входящего в состав ИИС или среды и учитываемого при описании взаимодействия ( ими могут быть: средства ИИС, входя­щие в ее состав, отдельные компоненты среды, включая и другие системы, человек и т.д., а также объединяющие их связи).

Введенная теоретико-множественная модель взаимодействия ИИС со средой несет информацию как о системе, так и о среде, позволя­ет определить их границы и показывает какие объекты и факторы будут учитываться при системном проектировании ИИС.

Недостатком модели является то, что она не отображает явно (непосредственно) связи, случайный характер взаимодействия и возможные его ситуации.

24. Качество, эффективность и критерий эффективности БТС.

Под качеством системы будем понимать показатель, выражаемый через ее внешние параметры и характеризующий степень соответствия системы своему назначению при нахождении системы в некотором состоянии q из пространства существования D_s.

Эффективность является математическим ожиданием качества.

Критерий эффективности – число, которое характеризует эффективность и является её численной оценкой.

25. Ситуации взаимодействия ИИС со средой: детерминированная, риска и неопределённости.

1. Детерминированная ситуация

2. Ситуация риска Знаем все возможные исходы и их вероятности.

3. Ситуация неопределённости

Не знаем все исходы и/или все вероятности.

23. Топологическая модель БТС и её значение при проектировании.

Топологическая модель БТС с учетом ее назначения:| D_E D_s P_s D_ |

Состояние ИИС в некоторый момент времени - обобщенный внешний параметр q: q = {q⁽¹⁾, q⁽²⁾ ,… , q⁽ⁿ⁾}, где q⁽ⁱ⁾ – i-ый внешний параметр системы, численно характеризующий ее i-ое внешнее свойство. Графически состояние ИИС представляется точкой в системе координат внешних свойств ИИС _s. Множество состояний, в которых может находиться ИИС в процессе взаимодей­ствия со средой, условимся называть пространством состояний ИИС (или пространством существования ИИС) D_s: q  D_s; D_s= {q}

Пространство D_s может быть как непрерывным, так и дискретным.

Влияние среды на характер модели ИИС проявляется в том, что в силу случайного характера среды и состояние системы носит случайный характер, содержит в себе элемент неопределенности. В любой момент времени t = t_i ИИС может находиться только в одном состоянии q_i, В силу случайного характера взаимодействия ИИС со средой эти состоянием может быть любое состояние q_i D_s. Вероятностной мерой наличия той или иной реализации q, учитывающей ее статистический характер, м.б. некоторая неотрицательная счетно-аддитивная функция P_s, определенная на множестве D_s, такая что:

P_s(D_s) = 1; P_s( ) =

где q_i  q_j =  для любых i  j, а P_s - вероятностная мера, определенная на D_s. Для случая, когда функция P_s непрерывна на D_s можно положить, что dP_s = g(q)dq и

где g(q)- функция плотности вероятности состояния q. Функция g(q) называется функцией внешних условий и харак­теризует воздействие среды на состояние ИИС. P_s характеризует случайный характер взаимодействия ИИС со средой.

Влияние человека на состояние ИИС определяется зависящем от него распределением ресурсов системы по пространству D_s. Формально это может быть отображено путем наложения на D_s некоторого функционального отношения , определяющего состояние ИИС и непрерывного на D_s:  = (q). Человек может реализовать распределение ресурсов через выбор внутренней структуры ИИС, поэтому функцию  называют функцией построения системы. Человек может реализовать конечное множество построений ИИС: D_ = {};   D_. Для D_, рассматриваемого нами как отображение множества возмож­ных внутренних структур системы, D_s является пространством определения, а само D_ является множеством -образов пространства D_s .

Для отражения назначения системы введём понятие эффективности. Под качеством системы будем понимать показатель, выражаемый через ее внешние параметры и характеризующий степень соответствия системы своему назначению при нахождении системы в некотором состоянии q из пространства существования D_s. Поскольку эффективность является математическим ожиданием качества, она может рассматриваться как мера, определенная на пространстве D_s. При известном пространстве существования D_s и заданной функции внешней среды P_s эффективность может рассматриваться как величина, зависящая от распределения ресурсов системы, т.е. от функции построения системы D_. При этом возможным построением системы _i из пространства D_ будут соответствовать свои значения эффективности Е_i , тогда множеству возможных построений системы можно поставить в соответствие множество значений эффективности D_Е.

26. Макромодель эффективности ИИС и ее компоненты.

Эффективность БТС в функции поведения человека через интеграл Лебега-Стилтьеса:

, где – качество БТС, соответствующее её состоянию q при некоторой реализации стратегии человека . определяет в данном случае условия ограничения:

. P_s – вероятностная мера, характеризующая случайный характер взаимодействия БТС со средой. – функция построения БТС, характеризующая воздействие на БТС человека, входящего в её состав; является формальным отображением её внутренней структуры, рассматривается как плотность распределения ресурсов БТС по пространству существования .

Интеграл Лебега — Стилтьеса может быть определен на любом вероятностном пространстве, если конечно: , где .

Для случая одноразового использования (непрерывный характер взаимодействия со средой): , где – функция внешних условий, характеризующая воздействие внешней среды на состояние БТС; формально рассматривается как плотность вероятности состояние БТС.

Для случая многоразового использования (дискретный характер взаимодействия со средой): , здесь каждое соответствует i-й реализации использования и определяется в соответствии с выражением для одноразового использования.

27. Отношения порядка: определение, свойства. Упорядоченные множества.

Отношения порядка – определяют, какой член пары, входящей в состав рассматриваемой модели БТС, должен считаться по значимости первым, а какой – вторым. Могут служить заменой любого другого отношения, характер которого по тем или иным причинам невозможно установить с достаточной точностью. В соответствии с информационным уровнем, на котором находится системное проектирование, разработчик может установить либо относительную значимость только некоторых элементов (средств) БТС (отношения частичного (нестрогого) порядка), либо упорядочить (ранжировать) весь состав БТС (вполне упорядоченные отношения (строгого порядка)).

Свойства: для строго порядка антирефлексивность ( , ассиметричность ( ), транзитивность ( ); для нестрогого порядка рефлексивность ( , антисимметричность ( ), транзитивность ( ).

Если хотя бы для нескольких пар элементов a,b множества A можно по некоторому признаку установить, что или , то множество A называется частично упорядоченным и м.б. определено в своих границах (рассматриваемое множество конечно, и, следовательно, для реализации представляемой им БТС требуются конечные ресурсы). Вполне упорядоченные множества определяются тем, что для них отношение равносильно существованию цепи вида: , в которой между любыми элементами и не существует промежуточного элемента ( покрывает ). Вполне упорядоченное множество м.б. представлено в виде графа, в котором элементы множества изображаются вершинами графа в соотв. с правилом: вершина, изображающая элемент a, располагается выше вершины, изображающей элемент b в том и только в том случае, если , причём если a покрывает b, то они соединяются прямолинейным отрезком.

28. Отношения эквивалентности и тождественности: определения, свойства, значение при проектировании.

Эквивалентность – неразличимость элементов БТС по одному признаку (признаку эквивалентности). Свойства: рефлексивность ( , симметричность ( , транзитивность ( . Отношение эквивалентности может рассматриваться как формализация признаков, используемых для функционального разделения БТС на подсистемы в ходе системного проектирования (декомпозиция БТС). В подсистемы объединяются элементы, эквивалентные по своему назначению.

Частным случаем деления (декомпозиции) БТС является выделение резерва для повышения надёжности БТС. Такая операция м.б. формализована путём использования представления об отношении тождества: . Оно означает, что резервный элемент b, связанный с некоторым отношением тождества , отвечает условию . Свойства те же, что и у эквивалентности, плюс антисимметричность ( ).

29. Функциональные отношения. Композиция функций.

Функция в теории множеств рассматривается как отношение, характеристическим свойством которого является единственность ее образа в области определения. Это означает, что элементами функции являются упорядоченные пары: , обладающие тем свойством, что если . Функция, получающаяся из переменой мест элементов, называется функцией, обратной к , и обозначается . Для того, чтобы м.б. отличить, относится ли данная функция ко всей модели БТС или только к её части, вводится понятие о «функции, определённой на А»: , и «функции, определённой в А»: .

Композиция двух функций возможна только тогда, когда обе функции зависят от одного множества: , где - знак композиции. В данном случае и зависят от множества , для которого справедливо . Композиция ассоциативна, но в большинстве случаев не коммутативна: , но . Физически же ассоциативность композиции функциональных отношений означает, что общее представление о характере функциональных связей не зависит от объединения их в группы при условии, что при этом не нарушаются предпочтения, определённые на частных функциональных связях. В противном случае представление о характере связей может существенно измениться.

30. Эффективность и критерий эффективности как формы оценок качества ИИС. Свойства эффективности.

Под качеством системы будем понимать показатель, выражаемый через ее внешние параметры и характеризующий степень соответствия системы своему назначению при нахождении системы в некотором состоянии q из пространства существования D_s.

Поскольку эффективность является математическим ожиданием качества, она может рассматриваться как мера, определенная на пространстве D_s со следующими свойствами:

1.  D_s : 0 < E < 

При известном пространстве существования D_s и заданной функции внешней среды P_s эффективность может рассматриваться как величина, зависящая от распределения ресурсов системы, т.е. от функции построения системы D_. При этом возможным построением системы _i из пространства D_ будут соответствовать свои значения эффективности Е_i , тогда множеству возможных построений системы можно поставить в соответствие множество значений эффективности D_Е.

D_ = {_i }  D_E = { Е_i }

2. D_sⁱ  D_s  E_i  D_E.

Любому подпространству D_sⁱ пространства существования соответствует свое значение эффективности E_i либо значение эффективности D_E.

3. D_s = D_sⁱ , ij: D_sⁱ  D_s^j =   E = E_i

Эффективность аддитивна

: Е  R’

Число , которое характеризует эффективность и является ее численной оценкой, будем называть критерием эффективности.

D_E  D_

33. Экспертное ранжирование объектов (метод Штенгауза).

Если К-1 объект уже упорядочены и нужно найти место для К-то объекта, то этот К-ый объект сначала сравнивается с медианным (серединным) объектом уже имеющегося упорядочения. Если К-ый объект окажется более предпочтительным, чем медианный, то в дальнейшем он будет сравниваться с объектами верхней половины имеющегося конечного списка, иначе – с объектами нижней половины. При этом примерно половина проранжированных объектов из рассмотрения исключается. Процедура повторяется для оставшейся части списка до тех пор, пока место для объекта не будет найдено. На каждом шаге исключается примерно половина оставшейся части списка.

При нечетном К имеется два медианных элемента в рассматриваемом конечном списке и эксперт вправе выбрать любой из них. Число парных сравнений, необходимых для ранжирования N элементов, зависит не только от структуры исходного списка, но и от того, какие медианные элементы выбирает эксперт. Минимальное число сравнений при N>2, максимальное , где запись [a] означает целая часть числа a.

34. Экспертное ранжирование объектов (метод Штенгауза-Форда-Джонсона).

На первом этапе все ранжируемые объекты разбиваются на пары, в каждой из которых определяется более предпочтительный элемент. Если число ранжируемых элементов нечетно (N=2r+1), то один из элементов не участвует в этих парных сравнениях и в дальнейшем рассматривается вместе с менее предпочтительными элементами.

На втором этапе определенные r более предпочтительных элементов размещаются в порядке их предпочтительности с помощью алгоритма Штенгауза.

На третьем этапе - r (или r+1, если N - нечетно) менее предпочтительных элементов размешаются среди r более предпочтительных элементов, полученных на первом этапе и упорядоченных на втором этапе.