15. Тригонометрический ряд. Сходимость. Ряд Фурье. Коэффициенты Фурье.
С помощью тригонометрического ряда практически любую периодическую функцию можно представить в виде ряда, членами которого являются простые гармоники.
Тригонометрическим рядом - называется функциональный ряд вида
т.е.
(1)
Где
,
,
(n=1,2,…)называются
коэффициентами ряда.
Будем считать, что ряд равномерно сходится. Интегрируем правую и левую части:
Отсюда:
Домножим
обе части равенства (1) на
и
проинтегрируем обе части:
При
m=n получим:
Отсюда:
,
n=1,2,3,…
Аналогично,
умножив равенство (1) на
и проинтегрировав почленно на отрезке
[
],
найдём
,
n=1,2,3,…
16.Разложение в ряд Фурье периодических функций с периодом 2п.
1. Пусть ф-ция f(x) – четная, т. е. f(-x)=f(x).
Значит:
;
;
.
Ряд Фурье для четных ф-ций – ряд только по косинусам
2. Пусть ф-ция f(x) – нечетная, т. е. f(-x)=-f(x).
Значит:
;
;
.
Ряд Фурье для четных ф-ций – ряд только по синусам
17.Разложение в ряд функций с периодом 2 l.
Пусть f(х) есть периодическая функция с периодом 2l, вообще говоря, отличным от 2π. Разложим ее в ряд Фурье.
Сделаем
замену переменной по формуле:
.
Тогда
функция
будет периодической функцией от t
с периодом 2π. Ее можно разложить в ряд
Фурье на отрезке
:
где
Возвратимся теперь к старой переменной х:
Тогда будем иметь:
18.Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
1. Пусть ф-ция f(x) – четная, т. е. f(-x)=f(x).
Значит:
;
;
.
Ряд Фурье для четных ф-ций – ряд только по косинусам
2. Пусть ф-ция f(x) – нечетная, т. е. f(-x)=-f(x).
Значит:
;
;
.
Ряд Фурье для четных ф-ций – ряд только по синусам
19.Разложение в ряд Фурье непериодических функций.
Пусть ф-ция f(x) непереодич., заданная на [a,b].
Вместо
функции f(x)
рассматривают ф-цию
с периодом 2l, причем [a,b]
и на [a, b]
ф-ция
совпадает
с функцией f(x).
Поскольку функция периодическая то ее разлагают в ряд Фурье.
Рассмотрим один важный случай: пусть функция f(x) задана на интервале (0, l) . Ее надо доопределить на интервале (-l , 0). Можно доопределить четным образом. В этом случае мы получаем ряд Фурье только по косинусам.
Можно доопределить нечетным образом. Получим ряд Фурье только по синусам.
22.Интеграл Фурье. Синус и косинус преобразование Фурье.
Пусть
имеем f(x),
определенную на (
)
и абсолютно интегрируемую на этом
интервале,т.е.
(конечное
число),фун-ция разлагается в ряд на
(-l,l).
;
;
;
|
|=
(Умножим
и поделим на
)=
(1)
(1)- Интеграл Фурье
Если ф-ция четная или нечетная, то частные случаи:
Распишем
интеграл:
1)f(x)-четная
-
cos преобразование Фурье
2)f(x)-нечетная
-
обратное преобразование от cos
преобразования
-
sin преобразование Фурье
-
обратное преобразование sin
преобразование Фурье
23.Ряд Фурье в комплексной форме.
;
;
;
интеграл
Ф. В комплексной формуле при (
):
24.Интеграл Фурье в комплексной форме.
В
действ. форме:
Возьмем:
При
l =
:
+
=
= | По формулам Эйлера => | =
=
— Интеграл Фурье в комплексной форме;
или:
=
= | введем новую переменную: с(α)
=
| = =
— также интеграл Фурье в комплексной
форме