4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Теорема Лейбница:

Если в знакочередующемся ряду , где положительны, члены таковы, что и , то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

Доказательство: Рассмотрим сумму первых членов ряда. >0, т.к. все скобки положительны. Запишем теперь эту же сумму так:

По условию 1 каждая из скобок положительна. Поэтому в результате вычитания этих скобок из мы получим число, меньшее . Таким образом, мы установили, что при возрастании m возрастает и ограничена сверху. Отсюда следует, что имеет предел S

, причем . Однако сходимость еще не доказана. Мы доказали только, что последовательность четных частичных сумм имеет пределом число S. Докажем теперь, что нечетные частичные суммы также стремятся к пределу S. Рассмотрим для этого сумму первых членов исходного ряда. . Так как по условию 2 теоремы , то следовательно Тем самым мы доказали, что как при четном n, так и при нечетном. Следовательно, исходный ряд сходится.

! Теорема Лейбница справедлива, если условия выполняются с некоторого N.

5. Знакопеременные ряды. Теорема о сходимости знакопеременного ряда. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.

Теорема1. Если знакопеременный ряд (1) таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов (2) сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов расходится, то данный ряд называется условно сходящимся.

Основные свойства абсолютно сходящихся рядов

1. Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд (теорема Дирихле).

2. Абсолютно сходящиеся ряды с суммами и можно почленно складывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна + (ИЛИ соответственно - ),

3. Под произведением двух рядов и понимают ряд вида

Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами и есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна

Таким образом, абсолютно сходящиеся ряды суммируются, вычитаются, перемножаются как обычные ряды. Суммы таких рядов не зависят от порядка записи членов.

В случае условно сходящихся рядов соответствующие утверждения (свойства), вообще говоря, не имеют места.