10.Ряды Тейлора и Маклорена.

Пусть ф-я f(x) является бесконечно диффериенцируемой, тогда этой ф-и можно поставить в соответствие ряд

Когда x₀0, то

В интервале сходимости (-R;R) сумма этого ряда S(x), но не всегда f(x)=S(x).

Если ряд сходится, то его можно представить в виде S_n(x)+r_n(x) P_n(x)+R_n(x) и S_n(x)=P_n(x), значит r_n(x)=R_n(x) иначе не равны.

11.Достаточные условия разложения функции в ряд Тейлора.

Если все производные ограничены одной и той же константой, то ряд Тейлора сходится к ф – и по x.

- сходится по признаку Даламбера.

У сходящегося общий член ряда

, отсюда следует, что

Пусть f(x) бесконечно дифференцируема и

Является ли этот ряд рядом Тейлора?

………………………………………………………….

.

Пусть x=x₀, тогда ,

или

f(x) – ряд Тейлора.

12.Разложение в ряд Тейлора элементарных функций (sin х, cos х, е в степени X , 1n(l +х), (1 +х) в степени Alfa).

1.

2.

f(0)=0

3.

.

4) ;

;

;

при X=1 ряд тоже сходится

5) ; .

13.Применение степенных рядов к вычислению интегралов, значений функций, решению ду.

Приближенное вычисление значений ф-ций.

- входит в обл. сходимости.

Подставляют

В зависимости от того, с какой точностью требуется вычислить оставляют достаточное число членов этого числового ряда. Достаточное число слагаемых берут из оценки достаточного члена ф-лы Тейлора или ост члена ряда Тейлора. Либо для знакочередуюшегося ряда, используя следствие из признака Лейбница.

Для вычисления определенных интегралов

Подинтегральную ф-цию разлагают в ряд Маклорена и в области равномерной сходимости возможно почленное интегрирование

Приближенное решение ду с помощью степенных рядов

1.Способ последовательного дифференцирования

Пусть требуется решить ур-е

(1)

удовл.условиям , (2)

Реш-е ур-я (1) ищем в виде ряда Тейлора

(3)

при этом первые 2 коэффициента находим из нач. условий (2). Подставив в ур-е (1) значения , , находим 3-ий коэффициент: Значения , ,…находим путем последоват.дифференцирования ур-я (1) по X и вычиления производных при (коэффициентов), их подставляем в равенство (3). Ряд ( 3) представляет искомое частное реш-е ур-я (1) для тех значений X, при к-рых он сходится. Частичная сумма этого ряда будет приближенным реш-ем ДУ (1).

2.Способ неопределенных коэфф.

Пусть требуется решить ур-е

(1)

с нач.условиями

Предполагая, что коэффициенты , и свободный член разлаг.в ряды по степеням , сходящ. в некотором интервале , искомое реше-е ищем в виде ряда

(2)

с неопределенными коэффициентами.

и определяются при помощи нач.усл. .

Для нахожд.последующих коэффициентов дифференцируем ряд (2) 2 раза и подставляем выр-я для ф-ии Y и ее производных в ур-е (1), заменив их разложениями. Получаем тождество, из к-рого методом неопред.коэфф. находим недостающие коэфф. Построенный ряд (2) сход. в том же интервале и служит реш-ем ур-я (1).

Ряды Фурье 2π функций, вычисление коэффициентов. Теорема Дирихле

Тригоном рядом наз-ся ряд вида: a0+∑(от ∞ до n=1)(ancosnx+bnsinnx) (**), a0,an,bn – коэф ряда

Для иссл-ия ряда прим признак Вейерштрасса: |a0/2|+∑(от ∞ до n=1)|an|+|bn| (*), если ряд (*)

Сход для всех x, может пред-ить ф-ю f(x), которая явл-ся период-ой с периодом 2π=T.

Выч коэф: ʃ(от –π до π) cosnxdx = |sinx/n|=1/n(sinnπ+sinπn)=(2/n)sinπn=0

ʃ(от –π до π) sinnxdx = -cosx/n = 1/n(cosnπ+cosπn)=0

ʃ(от –π до π) cosnxcosxdx = 0 при n не = k, π при n = k

ʃ(от –π до π) sinnxsinxdx = 0 при n не = k, π при n = k

ʃ(от –π до π) cosnxsinxdx = 0 при n не = k, π при n = k

Тригоном ряд (**) коэф-ми которого определяются формулами: a0=1/π ʃ(от –π до π) f(x) dx,

an=1/π ʃ(от –π до π) cosx dx, bn=1/π ʃ(от –π до π) sinx dx наз-ся рядом Фурье.

Теорема Дирихле

Если ф-ия f(x) опред на отрезке [-π,π], с T=2π: удов условиям, то

1.Кусочно неприрывна – може иметь число точек разрыва 1-го рода.

2.Кусочно монотонна – она может быть она может быть представлена на отрезке [-π,π], рядом Фурье, который сход в ф-ии f(x) и его сумма S(x)=f(x) в точках непрерывности, оси x-(.) неприрывности.

S(x0) = (f(x0+0)+f(x0-0))/2, x0 (.) разрыва 1-го рода

S(π) = S(-π) = (f(π+0)+f(-π+0))/2