Тема 4. Линейные операторы. (19-23)

Линейный оператор – оператор, если для любых векторов х и у пространства R и любого числа лямбда выполняются соотношения: А(х+у)=А(х)+а(у) и А(лямбда х)=лямбла А(х) Вектор у=А(х) наз.образом вектора х, а сам вектор х – прообразом вектора у. Каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе. Ранг оператора А = рангу матрицы А. Операции над линейными операторами: Произведение лин. Оператора на число (лямбдаА)(х)=лямбда(а(х)); Произведение лин. Оператора А и В (АВ)(х)=А(В(х)). Нулевой оператор переводит все векторы пространства в нулевые векторы. Тождественный вектор действует по правилу: Е(х)=х. Собственный вектор – вектор линейного оператора, не равный нулю. Собственные значения – число лямбда оператора А, соответствующим вектору х. Характеристический многочлен оператора или матрицы – определитель А-лямбдаЕ , яв-ся многочленом n-ой степени относительно лямбда. Матрица диагональная - матрица, у которой по главной диагонали стоят различные числа остальные равны нулю.

Тема 5. Квадратичные формы (23-25)

Квадратичная форма – сумма, каждый член которой яв-ся либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом. Матрица квадратичной формы – матрица, составленная из коэффициентов ( 1,2,…,n ). Матричная форма записи кВ. формы: L=X’AX. При невырожденном линейном преобразовании X=CY матрица кВ. формы принимает вид: A*=C’AC. Квадратичная форма наз. Канонической (имеет канонический вид), если все ее коэф. A_ij=0 при I не равной j. Ранг квадратичной формы – число отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняемой при линейных преобразованиях. Закон: Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэф. КВ.формы не зависит от способа приведения формы к этому виду. Кв. форма наз. Положительно (отрицательно) определенной, если при всех значениях переменных, из которых хотя бы одно отлично от нуля. Для того чтобы кВ. форма L=X’AX была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения лямбда, матрицы А были положительны (отрицательны).

Критерий Сильвестра. Для того чтобы кВ. форма была положительно определенной, необходимо и недостаточно, чтобы все главные миноры матрицы, этой формы были положительны (т.е. определители дельта)

Тема 6. Элементы аналитической геометрии. (26-32)

Ур-е линии на плоскости – ур-е, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Y=kx+b (ур-е прямой с угловым коэф.)

x/a+y/b=1 (ур-е прямой в отрезках)

Ур-е Ax+By+C=0 есть ур-е некоторой прямой линии на плоскости Oxy (общее ур-е прямой), включающее ур-е любой вертикальной прямой, параллельной оси Oy. A и B не равны одновременно нулю. Чтобы построить прямую по ее уравнению, надо найти точки, через которые данная прямая будет проходить. Ур- прямой, проход. Через данную точку в данном направлении: y-y₁=k(x-x₁), через две данные точки: y-y₁/y₂-y₁=x-x₁/x₂-x₁.  координаты точки пересечения двух прямых a и b являются решением системы уравнений  .

Равенство угловых коэф. Яв-ся необходимым и достаточным условием парал. Двух прямых.k₁=k₂. Условие парал. Прямых, заданных общим ур-ем, яв-ся пропорцион.коэф. при перемен. A₁/A₂=B₁/B_2.. Для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэф. Были обратны по величине и противопол. По знаку.

K₁=-1/k₂. Условием перпендик. Прямых, заданных общим ур-ем, яв-ся пропорциональность коэф. При переменных. X и y. А₁А₂+В₁В₂=0. Кривые 2-ого порядка – линии, которые описываются алгебраическими ур-ями 2-ой степени.

Общий вид:

Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+E=0

Нормальное ур-е окруж.:

(x-x₀)²+(y-y₀)²=R²

Кривая второго порядка наз. Эллипсом, если коэф.А и С имеют одинак. Знаки.

Каноническое ур-е эллипса:

X²/a²+y²/b²=1

Кривая второго порядка наз гиперболой, если коэф. А и С имеют противополож. Знаки, т.е. АС<0. Каконическое ур-е гиперболы:

X²/a²-y²/b²=1.

Парабола – геометрическое место точек, равноудаленных от прямой (директрисы) и точки (фокуса).

Каноническое ур-е параболы.

y² = 2px ,

Общее ур-е плоскости:

Ax+By+Cz+D=0

Частные случаи:

Если А=0, то By+Cz+D=0 (плоскость параллельная оси ОХ.

Если А=Д=0, то By+Cz=0 (плоскость проходит через ось ОХ)

Если А=В=0, то Cz+D=0 (плоскость параллельную плоскость Оху)

Если А=В=Д=0, то Cz=0 (определяет координатную плоскость Оху)

N – пормальный вектор плоскости Q. (n=(А,В,С)

Условием параллельности 2-х плоскостей яв-ся пропорциональность коэффициентов при одноименных переменных:А₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂,

А условие перпендикулярности:

А₁А₂+В₁В₂+С₁С₂=0

П рямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей, т.е как множество точек, удовлетворяющих системе:

Каноническое ур-е прямой: x-x₁/m=y-y₁/n=z-z₁/p. Если две плоскости пересекаются, то они пересекаются по прямой, и эта прямая делит каждую плоскость на две полуплоскости. Меньший из углов при пересечении наз.угол между двумя плоскостями.

Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.