Тема 2. Система линейных уравнений. (билет 8-12)

В общем виде система m уравнений с n переменными записывается так:

.       

Матрица системы – матрица, элементами которой являются коэффициенты при неизвестных. Система mлинейных уравнений с n переменными называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Теорема Крамера: если определитель отличен от нуля, то система имеет единственное решение. Решение система:

Метод Гаусса состоит их 2-х шагов. 1-приведение расширенной матрицы системы к ступенчатому виду и определение ранга матрицы А и ранга матрицы А/В, если ранг А=рангу А/В,то система совместна. 2-оратный ход. Находим неизвестные переменные.

Теорема Кронекера-Капелли.

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы. Если ранг матрицы равен числу неизвестных, то совместная система наз. Определенной, имеет единственное решение. Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система является неопределённой. Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом (входят в запись базисного минора). Если r<n. r переменных х1,х1…. Наз основными (базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них отличен от нуля. Остальные n-r наз.неосновными (свободными). Базисное решение Частное решение, полученное из общего, когда свободные переменные равны нулю. Система линейных однородных уравнений – если в сестеме столбец свободных членов состоит из одних нулей.

Такая система всегда совместна, так как она всегда имеет нулевое решение. Если строка е1=(к1,к2…)-решение системы, то и строка умноженная на число, так же решение системы. Всякая линейная комбинация решений системы линейных однородных уравнений также является решением этой системы. Система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных. R(A)<n

Тема 3. Векторные пространства. (13-18)

Вектором наз. направленный отрезок АВ с начальной точкой А и конечной точкой В. Сложение векторов: суммой двух векторов а и в наз. Вектор С=А+В, начало которого совпадает с началом вектора А, а конец с концом вектора В (правило треугольника). Вычитание: разность двух векторов А и В наз. Сумма вектора А и вектора –В, противоположного В. Произведением вектора А на число С наз. Вектор В=СА, направление которого совпадает с направлением вектора А. Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Компланарные векторы — это векторы,  лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях.  

Скалярное произведение двух векторов – число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Н ахождение угла между векторами!

На плоскости:

Координатами вектора А наз. Координаты его конечной точки. Длина (модуль) вектора АВ наз. Число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор (всегда положительный). Угол между векторами – определяется по формуле  . N-мерный вектор – упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде х=(х1,х2….,хn). Линейная комбинация векторов – любой вектор вида  , где   некоторые числа. Линейно зависимые вектора – если существует такие числа  , не все равные нулю, что  . Линейно независимые векторы - если  выполняется только при λ₁ = λ₂=…=λ_m=0. (Линейно зависимыми, если существуют такие числа не равные одновременно нулю. В противном случает векторы наз. Линейно независимыми.) Векторное пространство Eⁿ.- совокупность всех n-мерных векторов с введенными на ней операциями сложения и умножения на число. Размеренность пространства – максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Число n наз. Размеренностью пространства R и обозначается dim(R). Базис – совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства R. Каждый вектор х линейного пространства можно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса. (x=x1e1+x2e2+…+x_ne_n) Скалярное произведение векторов – число, которое получается путем сложения всех слагаемых. (х1 с у1, и т.д.) Евклидово пространство – линейной пространство, в котром задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным четырем свойствам. Длина (норма) вектора – корень квадратный из его скалярного квадрата. Ортогональные векторы – два вектора, скалярное произведение которых равно нулю. Ортонормированный базис – это когда векторы попарно ортогональны и норма каждого из них равна единице.