Тема 1. Матрицы и определители (Билет 1-5)

Матрица - прямоугольная таблица из чисел, содержащая m строк и n столбцов. Виды матрицы: матрица строка, матрица столбец, квадратная матрица, диагональная, единичная, нулевая. Транспонирование матрицы – строки и столбцы меняются местами с сохранением порядка. Две матрицы равны, если эти матрицы имеют одинаковый размер, и все их элементы совпадают. Умножение на число: каждый элемент матрицы нужно умножить на число. Сложение матрицы: складываются матрицы одного размера. Умножение матриц: умножаются, если число столбцов первой матрица совпадает с числом строк второй матрицы, и если матрица квадратная. Квадратная матрица – матрица, строки и столбцы которой равны. определитель-число, характ. КВ. матрицу. Определитель 2-ого порядка – число, равное . (необходимо найти разность произведения чисел, стоящих на главной диагонали и второстепенной диагонали) Определитель 3-его порядка – число, вычисляемое по правилу треугольника.

Определитель n-ого порядка – число, равное алгебраической сумме n! Членов, каждый из которых яв-ся произведением n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Алгебраическое дополнение – минор этого элемента умноженный на число (-1) . Св-ва: 1.если строка матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен нулю. 2.если все элементы строки (столбца) умножить на число, то определитель умножится на это число. 3.при транспонировании матрицы ее определитель не изменяется. 4.если кВ. матрица содержит две одинак. строки, то ее определитель равен 0. Теорема Лапласа. Определитель кВ. матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраической дополнение.

 (*)-по строке

 (**)-по столбцу

Обратная матрица – такая матрица, при умножении на которую, исходная матрица дает в результате единичную матрицу. Алгоритм: 1.находим определитель, если матрица особенная (определ. равен нулю),то решений не имеет. 2.Транспонируем матрицу. 3.получаем из транспонированной матрицы присоединен. 4.обратная матрица равна произведению присоед. матрицы на дробь один деленный на определитель. 5.проверка (произведение обратной матрицы на исходную равно единичной матрицы). Минор n-го порядка – нахождение подматриц n-го порядка путем вычеркивания каких-либо строк и столбцов. Ранг матрицы – наивысший порядок отличных от нуля маноров этой матрицы. Ранг матрицы не изменяется от элементарных преобразований: замена строк столбцами и наоборот; перестановка строк матрицы; вычеркивание строки, где элементы равны нулю; умножение строки на число, отличное от нуля; прибавление к элементам одной строки элементы другой строки. Линейная комбинация - называется их поэлементная сумма с некоторыми коэффециентами. Линейная зависимость - если существуют такие числа λ₁, λ₂,…, λ_m , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке: λ₁е₁+λ₂е₂+…+λ_mе_m=0. Линейно независимые строки – если линейная комбинация строк λ1е1+λ2е2+…+λmеm=0 равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты λi равны нулю λ1 = λ2=…=λm=0. Теорема о ранге матрицы: ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).