3. Уравнения пучка прямых, проходящих через заданную точку.
Пучком прямых на плоскости называется множество всех прямых данной плоскости, имеющих одну общую точку, которая называется центром пучка.
точка
М0
– центр пучка.
Уравнение пучка прямых - уравнение вида:
где
α,
β
- какие угодно числа, не равные одновременно
нулю,которое при различном выборе
значений параметров α и β в прямоугольной
системе координат Oxy определяет все
прямые пучка прямых, заданного двумя
пересекающимися прямыми
и
.
Так как в уравнении пучка прямых хотя бы один из параметров отличен от нуля, то можно разделить на него обе части уравнения пучка прямых.
Если α≠0, то, деля обе части уравнения на α и полагая,что β ∕α=λ,получим
Билет25 )Общее уравнение плоскости в трехмерной геометрии, геометрический смысл коэффициентов, входящих в уравнение
Общее уравнение (полное) плоскости
где 
и 
—
постоянные, причём 
и
одновременно
не равны нулю; в векторной форме:
где 
—
радиус-вектор точки 
,
вектор 
перпендикулярен
к плоскости (нормальный
вектор). Направляющие косинусы вектора 
:
Если
один из коэффициентов в уравнении
плоскости равен нулю, уравнение
называется неполным.
При 
плоскость
проходит через начало
координат,
при 
(или 
, 
)
П. параллельна оси 
(соответственно 
или 
).
При 
(
,
или 
)
плоскость параллельна
плоскости 
(соответственно 
или 
).
Уравнение плоскости в отрезках:
где 
, 
, 
—
отрезки, отсекаемые плоскостью на
осях 
и
.
Уравнение плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно
вектору нормали 
:
в векторной форме:
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
, не
лежащие на одной прямой:
(смешанное произведение векторов), иначе
Нормальное (нормированное) уравнение плоскости
в векторной форме:
где 
-
единичный вектор, 
—
расстояние П. от начала координат.
Уравнение (2) может быть получено из
уравнения (1) умножением на нормирующий
множитель
(знаки 
и
противоположны).
Билет 26) Нахождение угла между плоскостями в . Критерий параллельности и перпендикулярности плоскостей. Вычисление расстояния от заданной точки до плоскости
Билет 27)Нахождение уравнений всех плоскостей в , проходящих через заданную точку. Нахождение уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки.
Билет 28)Уравнение прямой в трёхмерной геометрии. Каноническая, параметрическая и общая форма уравнения прямой. Направляющий вектор прямой. Расстояние от точки до прямой
Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой.
Направляющий
вектор произвольной прямой в дальнейшем
обозначается буквой 
,
его координаты - буквами l,
m, n:
.
Если
известна одна точка 
прямой
и направляющий вектор
,
то прямая может быть определена (двумя)
уравнениями вида
.
(1)
В таком виде уравнения прямой называются каноническими.
Канонические
уравнения прямой, проходящей через
данные точки 
и 
имеют
вид
.
(2)
Обозначим буквой t каждое из равных отношений в канонических уравнениях (1); получим
.
Отсюда
, 
, 
.
(3)
Это
- параметрические уравнения прямой,
проходящей через точку 
в
направлении вектора
.
В уравнениях (3) t рассматривается
как произвольно изменяющийся параметр, x,
y, z -
как функции от t;
при изменении t величины x,
y, z меняются
так, что точка M(x;
y; z)
движется по данной прямой.
Если
параметр t рассматривать
как переменное время, а уравнения (3) как
уравнения движения точки М, то эти
уравнения будут определять прямолинейное
и равномерное движение точки М. При t=0
точка М совпадает с точкой 
.
Скорость vточки
М постоянная и определяется формулой
.