20 Примеры самоподобных процессов.

Представленный пример фрактала (кривая Коха) относится к классу детерминированных фракталов, т. е. когда объект непосредственно составляется из своих малых копий. В теории телетрафика для описания поведения величины нагрузки в сетях связи с пакетной коммутацией применяется класс случайных (стохастических) фракталов. В этом случае свойство самоподобия (масштабной инвариантности) наблюдается лишь «в среднем», т. е. подобными являются не сами отсчеты сигнала, а, например, его КФ или ПРВ в разных временных масштабах.  Три характерные особенности самоподобных процессов выражены в медленном убывании дисперсии, долгосрочной зависимости и флуктуационном характере спектра мощности таких процессов [25].

Рассмотрим дискретную случайную последовательность отсчетов:

,

где   - СВ с заданным законом распределения. Будем предполагать, что все рассматриваемые СП имеют ограниченную ковариацию   и следовательно дисперсию  . СП будет обладать свойством самоподобия, если агрегированный процесс  -го порядка

                    (5.6)

будет иметь КФ   совпадающую с КФ   исходного СП для любых  . При выполнении данного условия можно утверждать, что дисперсия агрегированного процесса   убывает согласно выражению

,                                 (5.7)

т. е. дисперсия агрегированных процессов – средних выборок – уменьшается медленнее, чем величина, обратная размеру выборки. В результате в самоподобных процессах имеет место явление долгосрочной зависимости, которое приводит к расходимости КФ процесса:

.                                                         (5.8)

Наконец энергетический спектр самоподобных процессов описывается выражением

.                                (5.9)

Собственно эти соотношения и определяют название самоподобного процесса: корреляционные свойства такого процесса, усредненного на различных временных интервалах, остаются неизменными.

21. Основные принципы моделирования потока событий.

Пусть в какие-то моменты непрерывного времени наступают события. Этот процесс называется потоком событий. Моделирование потока событий сводится к моделированию моментов времени, в которые они происходят.

Наибольший интерес представляет пуассоновский поток событий. Его осн. свойства:

Независимость – каждое событие наступает независимо от того, наступали ли другие.

Ординарность – в один момент времени может произойти не более одного события.

Стационарность – вероятность наступления определенного количества событий на некотором интервале времени зависит только от его длины и не зависит от его положения на временной оси:

( – интенсивность потока, т.е. ср. количествово событий в единицу времени).

Обозначим , , ... Тогда - независимые случайные величины с экспоненциальным распределением: .

Моделирование:

Как ранее было указано, вероятность того, что за интервал времени (t₀, t₀ + τ) произойдет m событий, определяется из закона Пуассона:

где a — параметр Пуассона.

Если λ(t) = const(t), то это стационарный поток Пуассона (простейший). В этом случае a = λ · t. Если λ = var(t), то это нестационарный поток Пуассона.

Для простейшего потока вероятность появления m событий за время τ равна:

Вероятность непоявления (то есть ни одного, m = 0) события за время τ равна:

22. Распределение Парето: математическое ожидание, дисперсия, абсолютные моменты, центральные моменты.