Вопрос 32
Первым замечательным пределом называется предел
Первый
замечательный предел равен 
Вторым замечательным пределом называется предел
Число 
,
заданное этим пределом, играет очень
большую роль как в математическом
анализе, так и в других разделах
математики. Число
часто
называют основанием
натуральных логарифмов.
Второй
замечательный предел существует. Его
значение
--
число, лежащее между 
и 
.
Более подробное изучение числа показывает, что -- иррациональное число, несколько первых десятичных знаков которого таковы:
Вопрос 33
Определение
1. Функция y=f(x) имеет
предел при
,
равный + (-), если М>0 
такое,
что при всех х,
удовлетворяющих 
,
выполняется неравенство f(x)>М
(f(x)<-М).
Определение
2. Число А называется
пределом функции y=f(x) при
слева,
или левосторонним пределом,
если >0
такое,
что при всех х,
удовлетворяющих условно 
,
выполняется неравенство |f(x)-А|<.
Определение
3. Число А называется
пределом функции y=f(x) при
справа,
или правосторонним пределом,
если >0
такое,
что при всех х,
удовлетворяющих неравенству 
,
выполняется неравенство |f(x)-А|<.
или 
-
слева,
или 
-
справа.
Функция имеет предел в некоторой точке, равный некоторому значению, тогда и только тогда, когда существуют и равны этому же значению оба односторонних предела.
=
=А 
=А.
Пример.
Найти
предел функции 
при 
.
0, 
+,
Предела функции при не существует.
Пределы на бесконечности
Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим. Существуют различные определения таких пределов, но они эквивалентны между собой.
Предел на бесконечности по Гейне
Пусть числовая функция
задана
на множестве 
,
в котором отыщется сколь угодно большой
элемент, то есть для всякого
положительного 
в
нём найдётся элемент, лежащий за
границами отрезка 
.
В этом случае число 
называется
пределом функции
на
бесконечности,
если для всякой бесконечно
большой последовательности точек 
соответствующая
последовательность частных значений
функции в этих точках 
сходится
к числу
.
Пусть числовая функция задана на множестве , в котором для любого числа найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число называется пределом функции на плюс бесконечности, если для всякой бесконечно большой последовательности положительных точек соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках сходится к числу .
Пусть числовая функция задана на множестве , в котором для любого числа найдётся элемент, лежащий левее него. В этом случае число называется пределом функции на минус бесконечности, если для всякой бесконечно большой последовательности отрицательных точек соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках сходится к числу .
Предел на бесконечности по Коши
Пусть числовая функция задана на множестве , в котором отыщется сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного в нём найдётся элемент, лежащий за границами отрезка . В этом случае число называется пределом функции на бесконечности, если для произвольного положительного числа
отыщется
отвечающее ему положительное
число
такое,
что для всех точек, превышающих
по абсолютному
значению,
справедливо неравенство 
.
Пусть числовая функция задана на множестве , в котором для любого числа найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число называется пределом функции на плюс бесконечности, если для произвольного положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек, лежащих правее , справедливо неравенство .
Пусть числовая функция задана на множестве , в котором для любого числа найдётся элемент, лежащий левее него. В этом случае число называется пределом функции на минус бесконечности, если для произвольного положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек, лежащих левее
,
справедливо неравенство
.
