27.Предел числовой последовательности (пример).

Пример 1. Сходящаяся последовательность

Задана последовательность   . Доказать, что  . Для этого необходимо найти номер  , начиная с которого выполняется неравенство  .

Пример 2. Бесконечно малая последовательность

Задана последовательность  . Доказать, что  . Для этого необходимо найти номер  , начиная с которого выполняется неравенство  .

Пример 3. Бесконечно большая последовательность

Задана последовательность  . Доказать, что  . Для этого необходимо найти номер N(M), начиная с которого выполняется неравенство  .    

Пример 4. Исследование процесса сходимости последовательности

Доказать, что   . Вычислить  для  = 0.1; 0.05;0,01 

28.Бесконечно большие, ограниченные, бесконечно малые функции (примеры)

Функция называется положительной бесконечно большой в точке , где , если для любого сколь угодно большого положительного числа существует зависящая только от М окрестность точка а такая, что для всех или . Функция называется отрицательной бесконечно большой в точке (при ), где , если для любого сколь угодно большого по модулю отрицательного числа существует зависящая только от М окрестность точки а, такая, что для всех или . Функция называется объединенной бесконечно большой в точке x=a (при x→a), где , если для любого сколь угодно большого положительного числа существует зависящая только от М окрестность точка а такая, что для всех или . Функция называется положительной бесконечно малой в точке , где , если для любого сколь угодно малого существует зависящая только от проколотая -окрестность точка а такая, что для всех или . Функция называется отрицательной бесконечно малой в точке , где , если для любого сколь угодно малого существует зависящая только от проколотая -окрестность точка а такая, что для всех или . Функция называется объединенной бесконечно малой в точке , где , если для любого сколь угодно малого существует зависящая только от проколотая -окрестность точка а такая, что для всех или .

29.Сравнение бесконечно малых функций, эквивалентные бесконечно малые.

Функции называются бесконечно малыми одного порядка при , если существует отличный от нуля конечный предел их отношении. Функция называется бесконечно малой более высокого порядка малости по сравнению с функцией при , если существует равный нулю предел их отношения. Бесконечно малые при функции называются эквивалентными бесконечно малыми при , если предел их отношения при равен единице.

30.Таблица эквивалентов (доказательство.

Пусть ,тогда , , , , , , , .

31.Правила предельного перехода: предел суммы, произведения, частного функции (доказательство)

Предел постоянной функции равен ее значению. Если существуют пределы где , то 1)предел суммы или разности равен соответственно сумме или разности пределов ; 2) предел произведения равен произведению пределов следствие: постоянный множитель можно вынести за знак предела ; 3)при отличии от нуля предела знаменателя предел частного равен частному от пределов