15.Расстояние между двумя точками на плоскости. Нахождение площади треугольника, деление отрезка в заданном отношении.

Расстояние между двумя точками ( х₁ ,  у ₁ ,  z ₁ )  и ( x₂ ,  y₂ ,  z₂) :

 

 

Расстояние от точки  ( х₀ ,  у ₀ ,  z ₀ )  до плоскости  Ах + Ву + Сz + D = 0 :

• h_a - высота, проведенная к стороне a.

• p - полупериметр, т.е. половина от суммы всех сторон треугольника.

• R - радиус описанной окружности.

• r - радиус вписанной окружности.

16.Уравнение прямой на плоскости: с угловым коэффициентом; проходящей через данную точку с угловым коэффициентом; проходящей через две данные точки.

В декартовой системе координат на плоскости общее уравнение прямой имеет вид . Уравнение прямой с угловым коэффициентом , , . Уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющей угловой коэффициент . Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

17.Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

 

Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью

Определение. Углом между прямыми в пространстве называют любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами  . Поэтому, если две прямые заданы каноническими уравнениями вида   и   то косинус угла между ними можно найти по формуле:

).

Пример. Найти угол между прямыми   и  .

 

Решение. По условию   , тогда

 отсюда

,  ,  .

 

Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов  .

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны:

 – условие параллельности прямых.

 

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю:

 – условие перпендикулярности прямых.

18.Общее уравнение прямой , нормально уравнение прямой, расстояние от точки до прямой.

В декартовой системе координат на плоскости общее уравнение прямой имеет вид . Нормальное уравнение прямой . Расстояние от точки до прямой, заданной а)общим уравнением ; б)нормальным уравнением

19.Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду, нормирующий множитель. (пример)

Очень часто в условиях задач, решение которых подразумевает использование нормального уравнения прямой, уравнение прямой линии дается не в нормальном виде, а в каком-либо другом. Поэтому встает новая задача: привести заданное уравнение прямой к нормальному виду. Сейчас мы с ней и разберемся.

Сразу отметим, что нормальное уравнение прямой можно получить из общего уравнения прямой. Если прямая на плоскости задана иным уравнением прямой, то это уравнение следует сначала привести к общему уравнению прямой, а уже после этого приводить общее уравнение прямой к нормальному виду.

Итак, покажем приведение общего уравнения прямой   к нормальному уравнению прямой.

Чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду нужно обе части равенства   умножить на так называемый нормирующий множитель, который равен  . Знак нормирующего множителя берется противоположным знаку слагаемого С. Если C = 0, то знак нормирующего множителя не имеет значения и может быть выбран произвольно.

Рассмотрим решения нескольких примеров.

Пример.

Приведите уравнение прямой   к нормальному виду.

Решение.

Нам дано общее уравнение прямой, в котором А = 3, В = -4, С = -16. Таким образом, нормирующий множитель следует брать со знаком «+», так как С – отрицательное число. Вычислим значение нормирующего множителя:  . Умножаем на одну пятую обе части исходного уравнения:  . Последнее равенство является нормальным уравнением заданной прямой.

Ответ: