11.Разложение вектора по базису

Два линейно независимых вектора на плоскости ( или три линейно независимых вектора в пространстве) образуют базис, если любой вектор плоскости (пространства) может быть представлен в виде их линейной комбинации. Числовые коэффициенты этой линейной комбинации называются координатами данного вектора в рассматриваемом базисе:

если a, b, c – базис и d = ka + mb + pc, то числа k, m, p есть координаты вектора d в базисе a, b, c.

 

Свойства базиса:

1.        Любые два неколлинеарных вектора образуют базис на плоскости, а любые три некомпланарных вектора – базис в пространстве.

2.        Разложение данного вектора по данному базису единственно, т.е. его координаты в данном базисе определяются единственным образом.

3.        При сложении двух векторов их координаты относительно любого базиса складываются.

4.        При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

12.Скалярное произведение векторов, их свойства

Скалярным произведение двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус между ними. Геометрические свойства:1.необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения. 2. Два нулевых вектора составляют острый(тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно(отрицательно) Алгебраические свойства:1. (переместительное свойство) 2. ᵡ* (сочетательное относительно числового множителя свойство.) 3. ( распределительное относительно суммы векторов свойство.) 4. , и , если – нулевой вектор.

13. Векторное произведение векторов, их свойства.

Векторным произведением двух ненулевых векторов называется вектор удовлетворяющий трем условиям: 1. Длина вектора равна произведению длин векторов на синус угла между ними. 2. Вектор ортогонален к каждому из векторов. 3. Вектор направлен так, что с конца вектора с поворот первого вектора-сомножителя а ко второму вектору-сомножителю b через наименьший угол рассматривается против часовой стрелки. Геометрические свойства: 1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения. 2.длина( или модуль) векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах. Алгебраические свойства: 1. (свойство антипараллельности сомножителей.) 2. (сочетательное свойство относительно числового множителя.) 3. ( распределительное свойство относительно суммы векторов.) 4. для любого вектора .

14. Смешанное произведение векторов, его свойства.

Если вектор a векторно умножить на вектор b, а затем получившийся в результате вектор скалярно умножить на вектор c, то в результате получится число , называемое смешанным произведением трех векторов a, b и c. Геометрический смысл: смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b и c, взятому со знаком плюс, если тройка a,b и c правая, и со знаком минус, если тройка a,b и c левая. Если векторы a,b и c компланарны, то смешанное произведение равно нулю. Если три вектора a,b и c определены своими прямоугольными координатами, то смешанное произведение равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов.