9.Понятие вектора, проекция вектора на оси координат, направляющие косинусы.

Вектором называется направленный отрезок, имеющий определенную длину, т. е. отрезок определенной длины, у  которого одна из ограничивающих его точек  принимается за начало, а вторая — за конец Проекцией вектора на ось называется вектор, который получается в результате перемножения скалярной проекции вектора на эту ось и единичного вектора этой оси. Например, если а_x – скалярная проекция вектора а на ось X, то а_x·i - его векторная проекция на эту ось.  Обозначим  векторную проекцию также, как и сам вектор, но с индексом той оси на которую вектор проектируется. Так, векторную проекцию вектора а на ось Х обозначим  а_x (жирная буква, обозначающая вектор и нижний индекс названия оси) или   (нежирная буква, обозначающая вектор, но со стрелкой наверху (!) и нижний индекс названия оси). Скалярной проекцией вектора на ось называется число, абсолютная величина которого равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между проекциями точки начала и точки конца вектора. Обычно вместо выражения скалярная проекция говорят просто – проекция. Проекция обозначается той же буквой, что и проектируемый вектор (в обычном, нежирном написании), с нижним (как правило) индексом названия оси, на которую этот вектор проектируется. Например, если на ось Х проектируется вектора, то его проекция обозначается а_x. При проектировании этого же вектора на другую ось, если  ось Y , его проекция будет обозначаться а_y . Чтобы вычислить проекцию вектора на ось (например, ось X) надо из координаты точки его конца вычесть координату точки начала, то есть а_x = х_к − x_н. Проекция вектора на ось - это число. Причем, проекция может быть положительной, если величина х_к больше величины х_н,  отрицательной,  если величина х_к меньше величины х_н  и равной нулю, если х_к равно х_н . Проекцию вектора на ось можно также найти, зная модуль вектора и угол, который он составляет с этой осью.  Из рисунка  видно, что а_x = а Cos α то есть, проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между направлением оси и направлением вектора. Если угол острый, то  Cos α > 0 и а_x > 0, а, если тупой, то косинус тупого угла отрицателен, и проекция вектора на ось тоже будет отрицательна. Углы, отсчитываемые от оси против хода часовой стрелки, принято считать положительными, а по ходу - отрицательными. Однако, поскольку косинус – функция четная, то есть, Cos α = Cos (− α), то при вычислении проекций углы можно отсчитывать как по ходу часовой стрелки, так и против. Чтобы найти проекцию вектора на ось надо модуль этого вектора умножить на косинус угла между направлением оси и направлением вектора.

10.Линейные операции над векторами, их основные свойства, колинеарность, компланарность векторов.

Суммой a + b векторов a и b называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b, если начало вектора b совпадает с концом вектора а.Замечание. Такое правило сложения векторов называют правилом треугольника.

  Свойства сложения:

Свойство 1. a + b = b + a

Свойство 2. (a+b)+c=a+(b+c).

Свойство 3. Для любого вектора a существует нулевой вектор О такой, что a+О=а.

 Свойство 4. Для каждого вектора a существует противоположный ему вектор a^/ такой, что а+а^/=О.

Доказательство. Достаточно определить a^/  как вектор, коллинеарный вектору a, имеющий одинаковую с ним длину и противоположное направление.

 Разностью а – b  векторов а и b называется такой вектор с, который в сумме с вектором b дает вектор а.

 Произведением ka вектора а на число k называется вектор b, коллинеарный вектору а, имеющий модуль, равный |k||a|, и направление, совпадающее с направлением а при k>0 и противоположное а при k<0.

 

Свойства умножения вектора на число:

Свойство 1. k(a + b) = ka + kb.

Свойство 2. (k + m)a = ka + ma.

Свойство 3. k(ma) = (km)a.

 

Следствие. Если ненулевые векторы а и b коллинеарны, то существует такое число k, что b = ka.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

 Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости