5. Решение однородных систем линейных уравнений.
Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rank A < n.
Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:
Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:
а
любое другое решение является их
линейной комбинацией. Вектор-решения 
образуют
нормированную фундаментальную систему.
В
линейном пространстве 
множество
решений однородной системы линейных
уравнений образует подпространство
размерности n
- r;
-
базис этого подпространства.
Решением
системы линейных алгебраических
уравнений называют
набор значений неизвестных переменных 
,
обращающий все уравнения системы в
тождества. Матричное уравнение 
при
данных значениях неизвестных переменных
также обращается в тождество 
.
Если
система уравнений имеет хотя бы одно
решение, то она называется совместной.
Если
система уравнений решений не имеет, то
она называется несовместной.
Если
СЛАУ имеет единственное решение, то ее
называют определенной;
если решений больше одного, то
–неопределенной.
Если
свободные члены всех уравнений системы
равны нулю 
,
то система называетсяоднородной,
в противном случае – неоднородной.
6.Обратная матрица, матричная форма записи слу, решение слу с помощью обратной матрицы.
Для
любой невыраженной матрицы существует
и притом единственная матрица такая
что:
.
Матрица
-обратная
к матрице А.
.
Существует метод нахождения обратной
матрицы, называемый элементарным
преобразованием. Элементарными
преобразованиями матрицы называются
следущие преобразования: 1.перестановка
строк(столбцов);
2.умножение
строки(столбца) на число, отличное от
нуля; 3.прибавление
к элементам строки(столбца) соответствующих
элементов другой строки(столбца),
предварительно умноженных на некоторое
число.
7.Метод Гаусса для решения слу (общий случай система n-го порядка)
Метод Гаусса состоит из двух основных этапов, называемых прямым и обратным ходом. Суть прямого хода заключается в последовательном исключении неизвестных с целью преобразования системы к так называемому ступенчатому виду, когда основная матрица систем имеет на главной диагонали отличные от нуля элементы, а под главной диагональю находятся только нулевые элементы. Обратный ход начинается с записи системы, которой соответствует итоговая расширенная матрица полученная в результате прямого хода. Обратный ход заключается в нахождении неизвестных уравнения.
8.Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли.
Рангом
матрицы называется максимальный порядок
rотличных от нуля миноров матрицы А, а
любой минор порядка r, отличный от нуля
– базисным минором. Основными методами
вычисления ранга матрицы являются
метод миноров и метод элементарных
преобразований.
Теорема Кронекера-Капелли:
для того чтобы система была совместной,
необходимо и достаточно, чтобы ранг
основной матрицы системы rangA равнялся
рангу расширенной матрицы rang
.
