Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной равна нулю: .

1. Если все варианты увеличить (уменьшить) на одну и туже постоянную, то дисперсия не изменится: .

2. Если все варианты увеличить (уменьшить) в одно и то же число k раз, то дисперсия увеличивается (уменьшится) в k² раз: .

3. Дисперсия равна разности между средней арифметической квадратов вариантов и квадратом средней арифметической: .

4. Если ряд наблюдений состоит из нескольких групп, общая дисперсия равна сумме средней арифметической групповых дисперсий (внутригрупповая дисперсия) и межгрупповой дисперсии («правило сложения дисперсий»):

,

где – общая дисперсия (дисперсия всего ряда);

– средняя арифметическая групповых дисперсий (внутригрупповая дисперсия);

– дисперсия i –ой группы , объем которой равен n_i, - групповая средняя;

– межгрупповая дисперсия , где - общая средняя;

l- число групп.

Если требуется сопоставить стандартные отклонения со средними арифметическими этих признаков, то вводится относительный показатель, называемый коэффициентом вариации.

Коэффициент вариации – это процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

34. Модой статистического ряда называется вариант, которому соответствует наибольшая частота.

Сложность в том, что редкая совокупность имеет единственную моду. (Например: 2, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 10 – мода = 9).

Если два несмежных значения имеют равную и наибольшую в данной группе частоту, то у этого вариационного ряда есть две моды, такая группа называется бимодальной.

Особенность моды заключается в том, что она не меняется при изменении крайних членов ряда, т.е. обладает определенной устойчивостью к вариации ряда. Для интервального ряда :

, где

– нижняя граница модального интервала;

– ширина интервала группировки;

– частота модального интервала;

– частота интервала, предшествующего модальному;

– частота интервала, следующего за модальным.

Медиана статистического ряда – это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений.

Для дискретного ряда с нечетным числом членов (n=2k+1) медиана равна серединному варианту Mе=x_k+1, а для ряда с четным числом членов (n =2k) – полусумме двух серединных вариантов:

.

Для интервального ряда:

, где

– нижняя граница медианного интервала, к которому принадлежит медиана;

– половина объема выборки;

h – ширина медианного интервала;

–частота медианного интервала;

– накопленная частота интервала, предшествующего медианному.

6. Показатели дифференциации

Для изучения характера вариации используются средние значения разных степеней отклонений отдельных величин признака от его средней арифметической величины. Эти показатели называют центральными моментами распределения порядка, соответствующего степени, в которую возводятся отклонения. Согласно свойству средней арифметической центральный момент первого порядка равен нулю, второй центральный момент  представляет собой дисперсию. Величина третьего момента m₃:

зависит, как и его знак, от преобладания положи­тельных отклонений в кубе над отрицательными либо наоборот.

При нормальном и любом другом строго симмет­ричном распределении сумма положительных отклонений в кубе строго равна сумме отрицательных от­клонений в кубе.

Момент третьего порядка используется при оцен­ке асимметрии.

В анализе вариационных рядов применяются также специальные показатели, позволяющие охарактеризовать расхождения между эмпирическим и нормальным распределениями как с качественной, так и с количественной стороны. Нормальное распределение строго симметрично. Фактически распре­деления, построенные по эмпирическим данным, как правило, асимметричны, т. е. смещены по отношению к оси симметрии нормального распределения влево или вправо. Для определения направления величины этого смещения (скошенности) употребляется коэффициент асимметрии:

где m₃- центральный момент третьего порядка;

 - куб среднего квадратического отклонения. в эмпирических распределениях центральный момент нечеткого порядка будет отличаться от нуля в зависимости от характера асимметрии: при левосторонней асимметрии он будет меньше нуля, при правосторонней - больше нуля. Коэффициент асим­метрии позволяет проводить сравнения между собой различных распределений.

На основе разности между средней величиной и модой вычисляют другой показатель асимметрии:

который при левосторонней асимметрии отрицателен, а при правосторонней - положителен.

Четвертый центральный момент:

используется для оценки эксцесса распределения, т. е. его островершинности по отношению к нормальному распределению. Центральный момент четвертого порядка m_t/o^> для нормального распределения равен 3. Коэффициент эксцесса для эмпирического распределения представляет собой величину:

 

Этот коэффициент положителен при островершинности изучаемого распределения по отношению к нормальному и отрицателен при плосковершинности.