Теорема Бернулли.

Теорема: Если вероятность события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна p, то при достаточно большом n для любого справедливо неравенство

m – это число появления события А в n испытаниях.

Замечание: Теорему Бернулли можно применить к неравенству Чебышева.

Пусть надо оценить вероятность того, что отклонение числа m - появления события А в n испытаниях от ожидаемого результата np не превысит . Тогда роль случайной величины играет число m, а M(x)=np и

4.Центральная предельная теорема Ляпунова.

Перечисленные только что теоремы, представляющие собой закон больших чисел, ничего не говорят о виде распределения случайной величины.

Совокупность показателей характеризующих перечисленные только что теоремы, представляющие собой закон больших чисел, ничего не говорят о виде распределения случайной величины.

Другая группа теорем теории вероятностей, которая устанавливает связь между законом распределения суммы случайных величин и его предельной формой – нормальным законом распределения, называется центральной предельной теоремой.

Одной из центральных предельных теорем является теорема Ляпунова.

Теорема: Если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых величин, влияние каждой из которых на всю сумму мало, то X имеет распределение близкое к нормальному.

Замечание: Если X имеет Математическое ожидание M(x) и дисперсию D(x), то распределение среднего арифметического , вычисленного в n независимых испытаниях при приближается к нормальному

или

30. Математическая статистика занимается установлением закономерностей, которым подчинены

массовые случайные явления, на основе обработки статистических данных, полученных в

результате наблюдений. Двумя основными задачами математической статистики являются:

- определение способов сбора и группировки этих статистических данных;

- разработка методов анализа полученных данных в зависимости от целей исследования, к

которым относятся:

а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения;

оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости от других

случайных величин и т.д.;

б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о значениях

параметров известного распределения.

Для решения этих задач необходимо выбрать из большой совокупности однородных объектов

ограниченное количество объектов, по результатам изучения которых можно сделать прогноз

относительно исследуемого признака этих объектов.

Определим основные понятия математической статистики.

Генеральная совокупность – все множество имеющихся объектов.

Выборка – набор объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.

Объем генеральной совокупности N и объем выборки n – число объектов в рассматривае-

мой совокупности.

Виды выборки:

Повторная – каждый отобранный объект перед выбором следующего возвращается в

генеральную совокупность;

Бесповторная – отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

Замечание. Для того, чтобы по исследованию выборки можно было сделать выводы о поведе-

нии интересующего нас признака генеральной совокупности, нужно, чтобы выборка правиль-

но представляла пропорции генеральной совокупности, то есть была репрезентативной

(представительной). Учитывая закон больших чисел, можно утверждать, что это условие

выполняется, если каждый объект выбран случайно, причем для любого объекта вероятность

попасть в выборку одинакова

выборочный метод:

-метод статистического исслед, при котором обобщающие характеристики изучаемой совокупность однородных объхектов устанавливаются по некоторой части.

Идея метода:если по результатам тзучения небольшой части генеральной совокупности(по выборке) можно с достаточно большой достоверностью выносить суждение о свойствах всей совокупности в целом, то нет необходимотси в сплошном наблюдении.

Теористич основа выборочного метода –збч, согласно которому при необграниченном увеличении объема выборки практически достоверна, что случайные выборочные характеристики как угодно близко приближаются(сходятся по верояности) к определенным параметрам генеральной совокупности.

Генеральная совокупность- ввсе возможные параметры, которые могут быть зарегистрированы в ходе наблюдения за лобхектом(т.ь понятие ген совокупности и случ величины не различаются) N- объем совокупности.

Ген совокупность наз-ся конечной или бесконечной, в зависимости от того конечна или неконечна совокупность составляющих ее элементов.

Выборочной совокупностью(выборной) называют чать генеральной совокупностью из n элементов(значенийпараметра) x1,х2…хn.отобранных случ из генеральной совокупности n- объем выборочной совокупности (n≤N) .

Наблюдение значения х, называют вариантами. Выборка с объемом < 30 называется выборкой объема.

Способы отбора данных:

1. Выборка, не требующ расчленения

-случайная,бесповторная.

- повторная.

Случайная- отбор, при котором объекты извлекаются из совокупности по одному

Повторная – отбор, в котором каждый выбранный из генеральн совокупности элементы возвращается в генеральной совокупность перед выбором след элемента.

-бесповторная –выборка, в которой каждый выбранный из генер. Совокупности элемент не возвращается.

2. выборка, при которой делится на части.

- механическая –генер совокупность, механически делится на группы. Выборка производится с каждой из группы.

- типическая -объекты выбирают не из всей совокупности, а из каждой её типической части на которые по некоторому признаку делится генеральная совокупность (например предприятия торговли по форме собственности).

- серийная – объекты отбираются по одному, а серийная которую подвергают сплошному обследованию.

Чтобы правильно отражают законному генер совокупности выборка должна быть репрезентабельной (представительной).

Это требование выполнила, если объем выборки достаточно велик, а каждый элемент генеральной совокупности имеет одинаковую вероятность попасть в выборку.

31. вариац и статис ряды

Лбычно ЭД –это множество расположенных в беспорядке числе.для изучения закономерностей данные подвергают обработке.

Операция, заключающаяся в том, что налюдаемые значения Св,располагают порядке пребывания, наз-ся ранжированием эмпирических данных.

Затем данные шруппируют след образом.

Последовательность вариант x1, x2, xn, записанных в порядке возрастанияназывают вариац рядом.

Пусть СВ х принимает в выборке значение х1-n1, раз знаенчие x2-n2 раз, значение xk-nk , причем n1+n2+…nk =n

Величины nj называют частотами (весами) элемента хj , а их отношение к объему выборки wi= nj/n –относитльными частотами, при этом сумма относительныз частот равна елдинице.

Последовательность вариант и соответств им частот(xi,ni), или относит частот (xi,wi) называют статистическим рядом.наряду с понятием частоты используют понятие накопленной чатсоты ni накл, которую показывает сколько наблюдалось вариантов со значением признака,Меньшим x.

Отношение накопленной частоты k общему числу наблюдений n называется накопленной частотой wi, как wi нак= ni накл/ n

Накопленная частоты для каждого варианта назодятся последовательным суммированием частот всех предшествующих вариантов, вкл данных.

Статист ряд называется дискретным, если любые его варианты отличаются на постоянную величину, и непрерывным интервальным, если варианты отличаются оин от другого на сколь угодно малую величину.

При большом n также прибегают к интервальному ряду:все наблюдаемые значения признака разбивают на несколько равных частичный интервалов длиной h, а затем находят для каждого чатсичного интервала n j –сумму частот варинт, попавших в i-той интервал.