Эту теорему легко обобщить на случай большего числа функций одного аргумента:

 

3. Производная произведения двух функций.
Т3: Пусть  u = u(x)  и  v = v(x) – дифференцируемые функции одного аргумента . Тогда в точке х
производная  произведения функций равна:
Введём вспомогательную функцию  w(x) = u(x) · v(x). Её приращение в точке х: ∆w(x) = w(x+∆x) – w(x) = [u(x+∆x) · v(x+∆x)] – [u(x) · v(x)] = =[u(x) + ∆u(x)]∙[v(x) + ∆v(x)] – [u(x) ∙ v(x). Воспользовались определением приращения функции: ∆u(x) = u(x+∆x) – u(x)   =>    u(x+∆x) = u(x) + ∆u(x). Тогда в точке х: ∆w = (u+∆u)(v+∆v) – uv = uv +u∆v + v∆u+∆u∆v – uv  => ∆w = u∆v + v∆u +∆u∆v. Разделим обе части на ∆х и вычислим пределы от обеих частей равенства при ∆х → 0:   Лемма: если функция дифференцируема в точке, то она в этой точке и непрерывна, т.е. Используя теоремы о пределах, имеем окончательно:  , ч. и т.д.
Следствие 1: постоянный множитель можно выносить за знак производной: Следствие 2:
4. Производная частного двух функций.
Т4: Пусть  u = u(x)  и  v =v(x ≠0 – функции аргумента  х.
Пусть существуют u΄(x)  и  v΄(x). Тогда в точке х
производная частного функций равна:
Введём вспомогательную функцию     .
Её приращение в точке х:    Воспользовались определением приращения функции: ∆u(x) = u(x+∆x) – u(x)   =>    u(x+∆x) = u(x) + ∆u(x). Тогда в точке х: Разделим обе части на ∆х и вычислим пределы от обеих частей равенства при ∆х → 0: Напомним, что если функция дифференцируема в точке, то она в этой точке и непрерывна, т.е.
Используя теоремы о пределах, имеем окончательно:

В. 10 Дифференируемость функии в точке. Дифференциал. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Геометрический смысл дифференциала.

Определение 4 (дифференцируемость в точке). Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x, если приращение  y этой функции в точке x представимо в виде

 y =A x + ( x)  x,

(1)

где A - некоторое число, не зависящее от  x, а lim_ x 0  ( x ) = 0.

В дальнейшем будем считать, что (0) = 0. В этом случае функция (x) будет непрерывной в точке  x = 0. Равенство 1 можно переписать иначе, так как функции  ( x),  x - бесконечно малые в точке  x = 0 и их произведение тоже бесконечно малая функция, поэтому

 y =A x +o( x).

(2)

Справедлива теорема

Теорема 1. Для того чтобы функция была дифференцируема в точке x, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Доказательство. Необходимость. Пусть функция дифференцируема, тогда ее приращение представимо в виде (1). Поделив (1) на  x 0 получим

 y/ x = A+( x).

Переходя к пределу в последнем выражении при  x 0, получим, что A=f'(x).

Достаточность. Пусть существует конечная производная f'(x), то есть существует конечный предел

lim_ x 0 y/ x = f'(x).

Обозначим ( x) =  y/  x-f'(x). Отсюда вытекает представление (1).

Рассмотрим функцию y = f(x), дифференцируемую в данной точке x. Приращение y ее представимо в виде

 y = f'(x) x + ( x)  x,

где первое слагаемое линейно относительно  x, а второе является в точке  x = 0 бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем  x. Если f'(x) 0, то первое слагаемое представляет собой главную часть приращения  y. Эта главная часть приращения является линейной функцией аргумента  x и называется дифференциалом функции y = f(x). Если f'(x) = 0, то дифференциал функции по определению считается равным нулю.

Определение 5 (дифференциал). Дифференциалом функции y = f(x) называется главная линейная относительно  x часть приращения  y, равная произведению производной на приращение независимой переменной

dy = f'(x) x.

Заметим, что дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной dx =  x. Поэтому формулу для дифференциала принято записывать в следующем виде:

dy = f'(x)dx.

(4)

Выясним каков геометрический смысл дифференциала. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M(x,y) (рис21.).

Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке M, которая образует угол  с положительным направлением оси OX, то есть f'(x) = tg . Из прямоугольного треугольника MKN

KN = MNtg xtg  = f'(x) x,

то есть dy = KN.

Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда x получает приращение  x.

Отметим основные свойства дифференциала, которые аналогичны свойствам производной.

1. d c = 0;

2. d(c u(x)) = c d u(x);

3. d(u(x)  v(x)) = d u(x)  d v(x);

4. d(u(x) v(x)) = v(x) d u(x) + u(x)d v(x);

5. d(u(x) / v(x)) = (v(x) d u(x) - u(x) d v(x)) / v²(x).

Укажем еще на одно свойство, которым обладает дифференциал, но не обладает производная. Рассмотрим функцию y = f(u), где u =  (x), то есть рассмотрим сложную функцию y = f((x)). Если каждая из функций f и  являются дифференцируемыми, то производная сложной функции согласно теореме (3) равна y' = f'(u)· u'. Тогда дифференциал функции

dy = f'(x)dx = f'(u)u'dx = f'(u)du,

так как u'dx = du. То есть

dy = f'(u)du.

(5)

Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от x рассматривать функцию от переменной u. Это свойство дифференциала получило название инвариантности формы первого дифференциала.

Замечание. Отметим, что в формуле (4) dx =  x, а в формуле (5) du яляется лишь линейной частью приращения функции u.

В. 11 Логарифмическое дифференцирование

Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций.  Рассмотрим этот подход более детально. Пусть дана функция y = f(x). Возьмем натуральные логарифмы от обеих частей: Теперь продифференцируем это выражение как сложную функцию, имея ввиду, что y - это функция от x. Отсюда видно, что искомая производная равна

Вычислить производную функции  . Решение. Применяем логарифмическое дифференцирование:

В. 12 Производные и дифференциалы высших порядков

Предположим, что функция f'(x) является дифференцируемой в некоторой точке x интервала (a,b), то есть имеет в этой точке производную. Тогда данную производную называют второй произвоьдной и обозначают f⁽²⁾(x), f''(x) или y⁽²⁾, y''(x). Аналогично можно ввести понятие второй , третьей и т. д. производных. По индукции можно ввести понятие n- ой производной:

y(n) = (y(n-1))'.

(6)

Функцию, имеющую на некотором множестве конечную производную порядка n,называют n раз дифференцируемой на этом множестве. Методика нахождения производных высших порядков предполагает умение находить производные первого порядка, о чем говорит формула (6).

Если u(x), v(x) две дифференцируемые функции, то для нахождения производной их произведения справедлива формула Лейбница

(u(x)v(x))⁽ⁿ⁾ = u(n)v+nu(n-1)v'+(n(n-1)/2)u(n-2)v''+...+ uv(n) =

= _{k =} 0ⁿC_n^ku(n-k)v(k),

где

C_n^k = (n(n-1)(n-2)...(n-k+1))/k!, u(0) = u, v(0) = v.

Данная формула Лейбница особенно эффективна в случае, когда одна из перемножаемых функций имеет конечное число отличных от нуля производных и легко вычислить производные другой функции.

Пример 9. Пусть y = e^x(x²-1). Найти y⁽¹⁰⁾. Положим u(x) = e^x, v(x) = (x²-1). Согласно формуле Лейбница

y(10) = (e^x)⁽²⁵⁾(x2-1)+10(e^x)⁽⁹⁾(x2-1)'+(10· 9/2) (e^x)⁽⁸⁾(x2-1)'',

так как следующие слагаемые равны нулю. Поэтому

y(10) = e^x(x2-1)+10e^x2x+(10· 9/2)e^x (2) = e^x(x2+20x+89)

Рассмотрим выражение для первого дифференциала

dy = f'(x)dx.

Пусть функция, стоящая в правой части, является дифференцируемой функцией в данной точке x. Для этого достаточно, чтобы y = f(x), была дифференцируема два раза в данной точке x, а аргумент либо является независимой переменной, либо представляет собой дважды дифференцируемую функцию.

Определение 6 (дифференциал второго порядка). Значение (dy) дифференциала от первого дифференциала (4) при  x = dx, называется вторым дифференциалом функции y = f(x) и обозначается d²y.

Таким образом,

d2y =  (dy)| x = dx.

Дифференциал dⁿy можно ввести по индукции.

Определение 7. Значение (d^n-1y) дифференциала от(n-1)-го дифференциала при  x = dx, называется n-м дифференциалом функции y = f(x) и обозначается dⁿy.

Найдем выражение для d²y при этом рассмотрим два случая, когда x -независимая переменная и когда x =  (t), то есть является функцией переменнойt.

1. пусть x =  (t), тогда

d2 =  (dy)| x = dx =  (f'(x)dx)| x = dx =

= { (f'(x))dx+f'(x)(dx)}| x = dx = f''(x)(dx)²+f'(x)d2x.

Итак,

d2y = f''(x)(dx)2+f'(x)d2x.

(7)

2. пусть x - независимая переменная, тогда

d2y = f''(x)(dx)²,

так как в этом случае (dx) = (dx)' x = 0.

Аналогично, по индукции легко получить следующую формулу, если x - независимая переменная:

dⁿy = f(n)(x)(dx)ⁿ.

Из этой формулы следует, что f⁽ⁿ⁾ = dⁿy/(dx)ⁿ.

В заключение отметим, что дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством инвариантности, что сразу видно из формулы для дифференциала второго порядка (7).

В. 13 Свойства функций непрерывных на отрезке

Рассмотрим некоторые свойства функций непрерывных на отрезке. Эти свойства приведём без доказательства.

Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.

Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.

Т еорема утверждает, что если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то найдётся хотя бы одна точка x₁  [a, b] такая, что значение функции f(x) в этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке: f(x₁) ≥ f(x). Аналогично найдётся такая точка x₂, в которой значение функции будет самым маленьким из всех значений на отрезке: f(x₁) ≤ f(x).

Ясно, что таких точек может быть и несколько, например, на рисунке показано, что функцияf(x) принимает наименьшее значение в двух точках x₂ и x₂'.

Замечание. Утверждение теоремы можно стать неверным, если рассмотреть значение функции на интервале (a, b). Действительно, если рассмотреть функцию y = x на (0, 2), то она непрерывна на этом интервале, но не достигает в нём ни наибольшего, ни наименьшего значений: она достигает этих значений на концах интервала, но концы не принадлежат нашей области.

Также теорема перестаёт быть верной для разрывных функций. Приведите пример.

Следствие. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка [a, b] найдется, по крайней мере, одна точка x = C, в которой функция обращается в ноль: f(C) = 0, где a < C< b Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если точки графика непрерывной функции y = f(x), соответствующие концам отрезка [a, b] лежат по разные стороны от оси Ox, то этот график хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось Ox. Разрывные функции этим свойством могут не обладать. Эта теорема допускает следующее обобщение. Теорема 3 (теорема о промежуточных значениях). Пусть функцияy = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a) = A, f(b) = B. Тогда для любого числа C, заключённого между A и B, найдётся внутри этого отрезка такая точка CÎ [a, b], что f(c) = C. Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции y = f(x). Пусть f(a) = A, f(b) = B. Тогда любая прямая y = C, где C – любое число, заключённое между A и B, пересечёт график функции, по крайней мере, в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем значением x = C, при котором f(c) = C. Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности: Следствие. Если функция y = f(x) непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает, по крайней мере, один раз любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями.

В. 14 Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Теорема Коши

Начнем рассмотрение таких теорем с теоремы, связываемой с именем французского математика Ролля (1652–1719).

Теорема 1.1. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех его внутренних точках, а на концах отрезка , обращается в ноль, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .

Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке , то, согласно свойству 11.1.1, она должна достигать хотя бы один раз на этом отрезке своего минимума и максимума (рис. 1.1).

Если , функция постоянна, то есть . Но в этом случае для любого .

В общем случае , и хотя бы одно из этих чисел не равно нулю. Предположим для определенности, что . Тогда существует точка , в которой

Рис. 1.1

Так как рассматриваемое значение является максимальным, то для него справедливо, что для и .

Рассмотрим пределы

для и

для .

Так как оба предела равны производной функции в одной и той же точке , то они равны между собой. Значит, из одновременности и следует, что , что и требовалось доказать.

Следует отметить, что данная теорема справедлива и в том случае, когда на концах отрезка функция не обращается в ноль, но принимает равные значения . Доказательство проводится аналогично.

Геометрический смысл данной теоремы следующий: если непрерывная кривая пересекает ось в двух точках , или принимает в них равные значения, то, по крайней мере, в одной точке между и касательная к кривой параллельна оси .

Необходимо отметить, что если не во всех точках у рассматриваемой функции существует производная, то теорема может не выполняться. Это касается, например, функции (рис. 1.2):

Рис. 1.2

Данная функция непрерывна на отрезке и обращается в ноль на его концах, но ни в одной точке внутри отрезка производная не равна нулю.