1. Классификация элементарных функций.

Функции:

- степенная;

- показательная;

- логарифмическая;

- тригонометрические;

- обратные тригонометрические;

- постоянная.

Называются основными элементарными функциями.

Элементарные функции обычно делят на классы:

1. Многочлены (полиномы) - это функции вида:

.

Если , то число называется степенью данного полинома.

При многочлен первой степени и называется линейной функцией;

2. Класс рациональных функций:

, где - полиномы;

3. Алгебраические функции:

Функции, заданные с помощью суперпозиций рациональных функций, степенных с рациональными показателями и четырех арифметических действий, называются алгебраическими.

Функция f  ограничена на множестве Х     M > 0 :

.

         Т.е. если    , где 

        а)   - ограничена сверху;

        б)   - ограничена снизу. 

Функция f  ограничена в окрестности точки х₀ (при х→ х₀), если .

Замечание 1. f(x) имеет предел в точке х₀, то она ограничена в окрестности т. Х_0, т.е. α(х)=0(1). Имеет предел, равный нулю, то она ограничена в т х₀.

Замечание 2. Все функции. ограниченные при х→ х₀ выделена в класс ограниченных функций, которые связываются 0(1) (f(x)-0(1)) при х→ х_0.

 

В. 2 Предел функции в точке. Геометрическая интерпритация. Непрерывность функции в точке. Ограниченность функции, имеющей предел.

Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки x₀, за исключением, может быть, самой точки x₀. Говорят, что функция f имеет в точке x₀ предел, равный A, и обозначают:   f (x) = A, для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что для всех x, удовлетворяющих неравенству 0 < | x – x₀ | < δ, выполняется соотношение | f (x) – A | < ε.

   

Другими словами, предел, равный A означает: как бы ни узка была ε-полоса у=А-ε и у=А+ε, найдется δ-окрестность точки x₀ такая, что для всех х из этой окрестности график функции будет лежать ε-полосе.

Т.е., геометрический смысл предела функции: означает, что для всех точек х, достаточно близких к х_0, соответствующее значения функции как угодно мало отличается от числа А.

Функция f называется непрерывной в точке x₀ ∈ D ( f ), если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех x ∈ D ( f ) и таких, что | x – x₀| < δ, имеет место неравенство | f (x) – f (x₀)| < ε.

Теорема 1. Предел суммы равен сумме пределов, если они существуют: 

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

Получаем 

Теорема 2. Предел произведения равен произведению пределов, если они существуют: 

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

Получаем   

Теорема 3. Предел частного равен частному пределов:  . При условии: все пределы существуют и  .

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

 ;

Получаем: 

Теорема 4. Предел сохраняет знак неравенства. Если  .

Доказательство:

Следовательно, 

Следствие:

Теорема 5. Если функция ограниченна и монотонна на (a, b), то она имеет предел: 

   Между непрерывностью функции f в точке x₀ и существованием предела f в x₀ имеется следующая связь:

• Функция f , определенная в некоторой окрестности x₀, непрерывна в точке x₀ тогда и только тогда, когда существует предел функции f в точке x₀, равный f (x₀), т.е. когда   f (x) = f (x₀).

Теорема об ограниченности функции, имеющей предел

Если функция f(x) имеет предел в точке a  ,то она ограниченна в некоторой окрестности точки a.

Доказательство:

Пусть  , тогда  , отсюда получаем  . Обратное неверно.

В определении предела функции считается, что х стремиться к х₀ любым способом: оставаясь меньшим чем х₀ (справа от х₀), или колеблясь около х₀.

Введем понятие односторонних пределов:

Определение: Число А₁ называется пределом функции y=f(x) слева в точке х₀, если для любой последовательности аргумента х х₀ и такой, что х<х₀, последовательность f(x_n)соответственно значений функции f(x) имеет один и тот же предел А.

Запись:

Аналогично определяется предел функции справа:

Пределы функций слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует , то существуют и оба односторонних предела, причем А=А₁=А₂.

Следовательно и обратное утверждение: если существуют оба предела (слева и справа) и они равны, то существует предел . Если же А₁ А₂, то - не существует.

В. 3 Бесконечные малые функции и их свойства. Теорема о связи функции, имеющей предел и бесконечно малой функции.

Определение: Функция y=f(x) называется бесконечно малой при х а, если

Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами и обозначают греческими буквами

Геометрически это означает, что функция y = f (x) либо пересекает ось ОХ (рис. 65а), либо касается ее в точке x = a (рис. 65б).

Свойства бесконечно малых функций:

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=α(x)+β(x), где  и  .

Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом ε>0 найдется δ>0, такое, что для x, удовлетворяющих неравенству |x – a|<δ, выполняется |f(x)|< ε.

Итак, зафиксируем произвольное число ε>0. Так как по условию теоремы α(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ₁>0, что при |x – a|<δ₁ имеем |α(x)|< ε/2. Аналогично, так как β(x) – бесконечно малая, то найдется такое δ₂>0, что при |x – a|<δ₂ имеем | β(x)|<ε/2.

Возьмем δ=min{ δ₁, δ₂}.Тогда в окрестности точки a радиуса δбудет выполняться каждое из неравенств |α(x)|< ε/2 и | β(x)|< ε/2.Следовательно, в этой окрестности будет

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)| < ε/2 + ε/2= ε,

т.е. |f(x)|<ε, что и требовалось доказать.

2) Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию или на число, есть функция бесконечно малая.

Доказательство. Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точкиa|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→a, то для произвольного ε>0 найдется окрестность точки a, в которой будет выполняться неравенство |α(x)|< ε/M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | αf|< ε/M= ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→∞ доказательство проводится аналогично.

Из доказанной теоремы вытекают:

Следствие 1. Если  и  , то  .

Следствие 2. Если  и c=const, то  .

3. Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Пусть  . Тогда 1/f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробь  есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.

Теорема. Если функция y=f(x) представима при x→a в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то  .

Обратно, если  , то f (x)=b+α(x), где a(x) – бесконечно малая при x→a.

Доказательство.

1. Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+α(x) следует |f(x) – b|=| α|. Но так как a(x) – бесконечно малая, то при произвольном ε найдется δ – окрестность точки a, при всех x из которой, значения a(x) удовлетворяют соотношению |α(x)|<ε. Тогда|f(x) – b|< ε. А это и значит, что  .

2. Если  , то при любом ε>0 для всех х из некоторой δ – окрестность точки a будет |f(x) – b|< ε. Но если обозначимf(x) – b= α, то |α(x)|<ε, а это значит, что a – бесконечно малая.

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМИ ФУНКЦИЯМИ

Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a.

Доказательство. Возьмем произвольное число ε>0 и покажем, что при некотором δ>0 (зависящим от ε) при всех x, для которых |x – a|<δ, выполняется неравенство  , а это и будет означать, что 1/f(x) – бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) – бесконечно большая функция при x→a, то найдется δ>0 такое, что как только |x – a|<δ, так |f(x)|>1/ ε. Но тогда для тех же x .

Можно доказать и обратную теорему.

Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.

Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A≠ 0

.

4) Связь между функцией, ее пределом и б.м. функцией устанавливает следующая теорема:

Для того, чтобы функция у=f(x) имела предел равный А при х х₀ (х ), необходимо и достаточно, чтобы разность f(x)-А= была бесконечно малой величиной.

- б.м.в.

В 4. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые и их использование пр вычислении пределов. Таблица эквивалентных бесконечно малых.

Функции   и   называют бесконечно малыми при  , если   и 

Сравнение бесконечно малых величин (б.м.в.):

Пусть   – бесконечно малые величины при  , т.е.  .

Определение 1. Если  , то   – б.м.в. одного порядка малости.

Определение 2. Если  , то   – б.м.в. более высокого порядка, чем  .

 –   более высокого порядка, чем   ("о" – читается как "о малое").

 –   более низкого порядка, чем   ("О" – читается как "О большое").

Определение 3. Если  , то   и   эквивалентны –  .

Следствие из определения 3:   при  .

Теорема. Если   и   эквивалентны ( ) , то   и  .

Доказательство:

Пусть   – бесконечно малые величины при   и они эквивалентны ( ).

Тогда  .

Очень удобно пользоваться заменой эквивалентных бесконечно малых при нахождении пределов. Замена производится на основе таблицы.

1)	.
2)		.
3)	.
4)	.
5)	.
6)	(  ).
)	.
7)	(  ).
)	.

В.5 Бесконечно большие функции, их связь с бесконечно малыми. Вертикальная асимптота графика функции.

О п р е д е л е н и е 4. Функция y = f (x)   называется бесконечно большой величиной при  , если для каждого положительного сколь угодно большого числа N найдется соответствующее сколь угодно малое положительное число  y = f (x)  такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству  , будет выполняться неравенство  : .          (4.12) Геометрически: для всех значений х, попадающих в   -окрестность точки а  , соответствующие значения функции будут по абсолютной величине больше сколь угодно большого числа N  :

О п р е д е л е н и е 5. Функция y = f (x)  называется бесконечно большой величиной при  , если для каждого положительного сколь угодно большого числа N найдется соответствующее сколь угодно большое число K(N) такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству  , будет выполняться неравенство  :

.                                                       

Геометрически: Функция y = f (x) будет бесконечно большой величиной при  , если функция может принимать значения по абсолютной величине больше наперед заданного числа N (рис. 68):

В ы в о д ы:

1. Функция  y = f (x) является бесконечно большой величиной, если

   или     .        

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМИ ФУНКЦИЯМИ

Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a.

Доказательство. Возьмем произвольное число ε>0 и покажем, что при некотором δ>0 (зависящим от ε) при всех x, для которых |x – a|<δ, выполняется неравенство  , а это и будет означать, что 1/f(x) – бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) – бесконечно большая функция при x→a, то найдется δ>0 такое, что как только |x – a|<δ, так |f(x)|>1/ ε. Но тогда для тех же x .

Можно доказать и обратную теорему.

Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.

Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A≠ 0

.

           Свойства ббм

Пусть   и   бесконечно большие величины при  ,  т.е.         и      .

1. Сумма бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая:

.                                                   (4.20)

2. Произведение бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая:

.                                                   (4.21)

3. Произведение бесконечно большой величины на константу С, или на функцию, имеющую конечный предел  , есть величина бесконечно большая:

                   

Линия задана уравнением y = f(x). Если  , то x = a - вертикальная асимптота. В частности, если  , то x = a - вертикальная правосторонняя асимптота; если же  , то x = a - вертикальная левосторонняя асимптота.

     2. Линия задана уравнениями x = x(t), y = y(t). Если  ,  , то x = a - вертикальная асимптота. В частности, если  ,  , то x = a - вертикальная правосторонняя асимптота; если же  ,  , то x = a - вертикальная левосторонняя асимптота.

В.6 Односторонние пределы. Классификация точек разрыва

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка  , называется непрерывной на промежутке. Если функция  определена на промежутке  ,  , то при исследовании поведения функции  в окрестности точки   имеет смысл говорить о пределе функции  в точке   справа, а при исследовании в окрестности точки  - о пределе функции в точке   слева. 

Определение: Число А₁ называется пределом функции y=f(x) слева в точке х₀, если для любой последовательности аргумента х х₀ и такой, что х<х₀, последовательность f(x_n)соответственно значений функции f(x) имеет один и тот же предел А.

Запись:

Аналогично определяется предел функции справа:

Пределы функций слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует , то существуют и оба односторонних предела, причем А=А₁=А₂.

Следовательно и обратное утверждение: если существуют оба предела (слева и справа) и они равны, то существует предел . Если же А₁ А₂, то - не существует.

Классификация разрывов.

Если хотя бы одно из равенств   нарушается, говорят о разрыве в точке  .

Если   и односторонние пределы конечны, то разрыв в точке  называется устранимым.

Если  и оба односторонние пределы конечны, то говорят о скачке функции в точке  .

Устранимый разрыв и скачок называются разрывами первого рода.

у) =  =

 

                                                                      

                                                                      

Если один из односторонних пределов бесконечен или не существует, то разрыв называется разрывом второго рода. Так же, как для предела и непрерывности, говорят о разрыве слева и разрыве справа.

Функция f(x) =   имеет в точке х₀ = 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к. .

 

В. 7 Предел функции в бесконечности. Понятие асимптоты. Наклонная асимптота к графику ф-ции. Необходимиое и достаточное условие существования наклонной асимптоты. Горизонтальная асимптота.

Пусть функция у=ƒ(х) определена в точке х_о и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е.

Равенство (19.1) означает выполнение трех условий:

1) функция ƒ (х) определена в точке x₀ и в ее окрестности;

2)  функция ƒ(х) имеет предел при х→х_о;

3)  предел функции в точке х_о равен значению функции в этой точке, т. е. выполняется равенство (19.1).

Так как    то равенство (19.1) можно записать в виде

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции ƒ(х) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть β функцию ƒ(х) вместо аргумента х подставить его предельное значение х_о.

Например, . В первом равенстве функция и предел поменялись местами (см. (19.2)) в силу непрерывности функции е^x _.

Асимптота, так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной.

Определение Говорят, что прямая y = kx+b является наклонной асимптотой графика функции y = f(x) при x, если f(x) имеет вид

f(x) = kx+b+ (x),

где lim_{x} (x) = 0.

Справедлива

Теорема 13 (существование асимптот). Для того чтобы график функции y = f(x) имел при x асимптоту y = kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

lim_xf(x)/x = k, lim_x(f(x)-kx) = b.

Доказательство.

1. Необходимость. Пусть график функции y = f(x) имеет при x асимптоту y = kx+b, то есть для f(x) имеет вид

f(x) = kx+b+(x),

тогда

lim_xf(x)/x = (kx+b+(x))/x = k,

lim_x(f(x)-kx) = lim_x(b+(x)) = b.

2. Достаточность. Пусть существуют пределы, фигурирующие в условии теоремы. Тогда величина f(x)-kx-b является бесконечно малой при x. Обозначив f(x)-kx-b = (x) получим, что f(x) имеет асимптоту согласно определению наклонной асимптоты.

Замечание. Аналогично определяется наклонная асимптота и доказывается теорема 13 при x.

Замечание. Если k=0 в определении наклонной асимптоты, то наклонная асимптота является горизонтальной.

     Если  , то прямая y = kx + b - наклонная асимптота вправо, 

     Если  , то прямая y = kx + b - наклонная асимптота влево, 

В. 8 Производная, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной и нормали. Таблица производных. 

            Определение. Рассмотрим некоторую функцию  y = f ( x ) в двух точках  x₀  и  x₀ +  :  f ( x₀ ) и  f (x₀ +   ). Здесь через   обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемоеприращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции:  f ( x₀ +   )- f ( x₀ ) называется приращением функции. Производной функции f(x) в точке х = х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

 

 

                                                 

           Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда   тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

,

 

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x₀, f(x₀)). Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то    неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.  

Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A ( x₀ ,  f ( x₀ ) ). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом  f ’( x₀ )  имеет вид: 

y = f ’( x₀ ) · x + b .

Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:

f ( x₀ ) = f ’( x₀ ) · x₀ + b ,

отсюда,  b =  f ( x₀ ) – f ’( x₀ ) · x₀ , и подставляя это выражение вместо  b, мы получим  уравнение касательной:

y =  f ( x₀ ) +  f ’( x₀ ) · ( x – x₀  ) .

         

Если касательная, проходящая через точку М(x₀,y₀) параллельна оси ординат (т.е. производная в этой точке не существует), то ее уравнение x= x₀.

Наряду с касательной к кривой в данной точке часто приходится рассматривать нормаль.

Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной в данной точке.

Из определения нормали следует, что ее угловой коэффициент k_n связан с угловым коэффициентом к асательной k равенством:

.

Учитывая, что нормаль также как и касательная проходит через точку M(x₀, y₀), то уравнение нормали к кривой y= f(x) в данной точке M имеет вид:

Ясно, что если касательная параллельна оси Ox, т.е.f'(x₀) = 0 и ее уравнение имеет вид y= y₀, то нормаль в этой же точке будет перпендикулярна оси Ox. Значит, ее уравнение имеет вид x= x₀.

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан:  координата  x  движущейся точки –известная функция  x ( t ) времени  t. В течение интервала времени от  t₀  до  t₀ +    точка перемещается на расстояние:  x ( t₀ +   ) - x ( t₀ ) =  , а её средняя скорость равна:  v_a =   /   .При      0  значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называетсямгновенной скоростью  v ( t₀ )  материальной точки в момент времени  t₀ . Но по определению производной мы имеем:

отсюда,  v ( t₀ ) = x’ ( t₀ ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит  механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:  a = v’ ( t ).

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

            Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

            Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

            Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х₀ называется правое (левое) значение предела отношения   при условии, что это отношение существует.

 

                                

            Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х₀, то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во- первых функция может иметь разрыв в точке х₀,  а во- вторых, даже если функция непрерывна в точке х₀, она может быть в ней не дифференцируема.

            Например: f(x) = ïxï- имеет в точке х = 0 и левую и правую производную, непрерывна  в этой точке, однако, не имеет в ней производной.

            Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х₀, то она непрерывна в этой точке.

            Понятно, что это условие не является достаточным.

Основные правила дифференцирования.

 

            Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

 

1) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢

2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v

3) , если v ¹ 0

 

            Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

 

 

Производные основных элементарных функций.

 

                                 1)С¢  = 0;                                              9) 

                                 2)(x^m)¢ = mx^m-1;                                     10) 

                                 3)                                                 11) 

                                  4)                                                 12) 

                                  5)                                          13) 

                                   6)                                 14)  

                                   7)                                       15) 

                                   8)                             16)  

 

 

В. 9 Производная суммы, произведения и частного. Производная частного.

Производной функции у = f (х) называется предел отношения приращения функции ∆у к приращению аргумента ∆х при стремлении ∆х к 0: Выведем ряд формул, облегчающих дифференцирование функций.
1.Производная постоянной величины.
Пусть f(x) = C = const. Тогда: Т1: Производная постоянной величины равна 0:
2. Производная суммы двух функций.
Т2: Пусть  u = u(x)  и  v = v(x) – функции аргумента  х. Пусть существуют u΄(x)  и  v΄(x). Тогда в точке х
производная суммы функций равна сумме их производных
Введём вспомогательную функцию  w(x) = u(x)  +  v(x). Её приращение в точке х: ∆w(x) = w(x+∆x) – w(x) = [u(x+∆x) + v(x+∆x)] – [u(x) + v(x)] = =[u(x+∆x) – u(x)] + [v(x+∆x) – v(x)] = ∆u(x) + ∆v(x).
Т.е. в точке х верно утверждение:    ∆w = ∆u + ∆v. Разделим обе части равенства на ∆х ≠ 0 : . При равенстве выражений, зависящих от  Δх, равными должны быть и их пределы при стремлении ∆х к нулю :
Введём вспомогательную функцию  w(x) = u(x) · v(x). Её приращение в точке х: ∆w(x) = w(x+∆x) – w(x) = [u(x+∆x) · v(x+∆x)] – [u(x) · v(x)] = =[u(x) + ∆u(x)]∙[v(x) + ∆v(x)] – [u(x) ∙ v(x). Воспользовались определением приращения функции: ∆u(x) = u(x+∆x) – u(x)   =>    u(x+∆x) = u(x) + ∆u(x). Тогда в точке х: ∆w = (u+∆u)(v+∆v) – uv = uv +u∆v + v∆u+∆u∆v – uv  => ∆w = u∆v + v∆u +∆u∆v. Разделим обе части на ∆х и вычислим пределы от обеих частей равенства при ∆х → 0: Лемма: если функция дифференцируема в точке, то она в этой точке и непрерывна, т.е. Используя теоремы о пределах, имеем окончательно: , ч. и т.д
Воспользовались теоремой: предел суммы равен сумме пределов, если таковые существуют. В соответствии с определением производной: w΄ = u΄ + v΄   , ч. и т.д.