28. Нелинейное программирование в принятии решений.

Нелинейное программирование - раздел математического программирования, изучающий методы решения экстремальных задач с нелинейной целевой функцией и (или) областью допустимых решений, определенной нелинейными ограничениями.

Общая задача нелинейного программирования (ОЗНП) определяется как задача нахождения максимума (или минимума) целевой функции f (x₁, х₂ ..., x _n­ ) на множестве D, определяемом системой ограничений

(2,1)

где хотя бы одна из функций f или g_i является нелинейной.

По аналогии с линейным программированием ЗНП однозначно определяется парой (D, f) и кратко может быть записана в следующем виде

(2,2)

Особенности нелинейного программирования

1)Задачи НЛП значительно ближе к реальным ситуация, чем линейные;

2)Задачи НЛП могут быть с ограничениями и без них;

3)Множество допустимых планов D может иметь очень сложную структуру (например, быть невыпуклым или несвязным);

4)Глобальный максимум (минимум) может достигаться как внутри множества D, так и на его границах;

5)Целевая функция f может быть недифференцируемой, что затрудняет применение классических методов математического анализа;

6)Задачи НЛП настолько разнообразны, что для них не существует общего метода решения.

Источники не­линейности относятся в основном к одной из двух категорий:

1) Реально существующие и эмпирически наблюдаемые нели­нейные соотношения.

2) Установленные (постулируемые) руководством правила поведения или задаваемые зависимости.

Задача нелинейного программирования встречается в естественных науках, технике, экономике, математике, в сфере деловых отношений и в науке управления государством.

Метод "затраты – эффективность" также укладывается в схему нелинейного программирования.

Данный метод был разработан для использования при принятии решений в управлении государством.

Классификация методов нелинейного программирования

По количеству локальных критериев в целевой функции:

1)однокритериальные

2)многокритериальные

По длине вектора :

1)однопараметрические или одномерные (n=1),

2)многопараметрические или многомерные (n>1).

По наличию ограничений:

1) без ограничений (безусловная оптимизация),

2)с ограничениями (условная оптимизация).

По типу информации, используемой в алгоритме поиска экстремума: методы прямого поиска, т.е. методы, в которых при поиске экстремума целевой функции используются только ее значения;

градиентные методы первого порядка, в которых при поиске экстремума функции используются значения ее первых производных;

градиентные методы второго порядка, в которых при поиске экстремума функции наряду с первыми производными используются и вторые производные.

градиентные методы второго порядка, в которых при поиске экстремума функции наряду с первыми производными используются и вторые производные.

29. Дискретное программирование в принятии решений.

Дискретное программирование (сокращено ДП, часто называется также целочисленным и комбинаторным программированием) сформировалось как самостоятельная и важная часть математического программирования в конце 60-х годов XX века. Основная цель дискретного программирования – выбор наилучшего варианта из конечного, возможно, очень большого их числа. Возникающие при этом экстремальные задачи имеют ряд особенностей, которые не встречаются в стандартных задачах математического программирования.

Под задачей дискретного программирования понимается целочисленная задача, в которой все или некоторые переменные должны принимать не любые целые значения.

В общем виде задачи дискретного программирования записывается следующим образом:

Пусть 𝑀={𝑎₁, 𝑎₂ … 𝑎_𝑛 }и f – числовая функция, определенная на элементах множества М. Требуется найти элемент 𝑎_j, на котором достигается абсолютный максимум (или минимум) функции f.

Особенности задач ДП.

• Нерегулярность. Дискретные задачи математического программирования входят в класс нерегулярных задач. В них локальный экстремум может не совпадать с глобальным, а область допустимых решений невыпуклая и несвязная, что делает невозможным решение их с помощью стандартных методов, применяемых для решения регулярных задач математического программирования.

• Трудности при определении окрестности.

• Невозможность выполнения большого перебора на ЭВМ.

Методы решения задач ДП.

Метод отсечения. Метод основан на идее сведения решения нерегулярной задачи к решению конечной последовательности регулярных задач. Эта идея регуляризации позволяет свести решение этой задачи к решению последовательности линейных задач. Если полученное решение удовлетворяет условию целочисленности, то процесс окончен. В противном случае к ограничениям исходной задачи добавляется новое линейное ограничение. Помимо отсечения выделяют так же комбинаторные методы и приближенные методы.