21. Классификация оптимизационных задач принятия решений.

Классификацию задач оптимизации можно проводить по нескольким признакам в зависимости от вида функции _f(x) и множества _X:

1) детерминированные, стохастические, задачи оптимизации с неопределенностями;

1. Детерминированная модель отражает поведение системы с позиции полной определенности в настоящем и будущем. Примеры таких моделей: формулы физических законов, программы обработки деталей и т.д.

2. Вероятностная модель учитывает влияние случайных факторов на поведение системы и, следовательно, оценивает будущее с позиций вероятности тех или иных событий.

3. Игровая модель дает возможность изучать конфликтные ситуации, в которых каждая из конфликтных сторон придерживается своих взглядов, старается получить информацию о намерениях «противника» и действует в соответствии складывающейся обстановке.

2) статические, динамические (например, задачи управления). Математические модели могут отражать состояние, в котором находится исследуемая система в какой-то момент времени, или отражать изменения во времени. Модели первого типа являются статическими, второго – динамическими. Если состояние системы описывается в каждый данный момент времени, то модели именуются непрерывными, если в некоторые фиксированные моменты времени, то – дискретными.

3) безусловной и условной оптимизации. Если имеются ограничения на вектор X, то задача называется задачей оптимизации с ограничениями или задачей условной оптимизации.

4) однокритериальные и многокритериальные;

5) линейные и нелинейные. Задача условной оптимизации, в которой все функции линейны, называется задачей линейного программирования. Задачи с нелинейными целевой функцией или ограничениями- нелинейного. 

6) одномерные и многомерные. Если размерность вектора X равна 1 (n=1), то задача называется однопараметрической задачей оптимизации (одномерной). Если размерность вектора Xбольше 1 (n>1), то задача называется (многомерной).

7) одноэкстремальные и многоэкстремальные.

22. Линейное программирование в принятии решений. Классические примеры.

Среди оптимизационных задач в теории принятия решений наиболее известны задачи линейного программирования, в которых максимизируемая функция F(X) является линейной, а ограничения А задаются линейными неравенствами.

Методы решения задач линейного программирования:

-Простой перебор.

-Направленный перебор.

-Симплекс-метод.

Общая задача линейного программирования заключается в отыскании вектора (u1, u2, ..., un) максимизирующего критерий оптимальности (функцию цели задачи)

Q (u) = C1u1 + C2u2 + ... +

при ограничениях линейного типа в виде равенств:

в виде неравенств:

и ограничениях на переменные состояния

23. Двойственная задача линейного программирования.

Перенесем все неизвестные модели в левую часть и справа (за чертой) запишем переменные двойственной задачи, соответствующие каждому ограничению исходной задачи:

max Z

a ₁₁x₁+ a₁₂x₂ +…+ a_1nx_n A₁ y₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ +…+ a_2nx_n A₂ y₂

…………………………... …

a_m1x₁+ a_m2x₂ +…+ a_mnx_n A_m y_m

-b₁₁x₁ -b₁₂x₂ -…-b_1nx_n+ k₁Z0 y_m+1

-b₂₁x₁-_b22x2 -… -b_2nx_n+ k₂Z0 y_m+2

…………………………... …

-b_r1x₁-b_r2x₂ -… -b_{r n}x_n+k_rZ0 y_m+r

x_i0

i=1,2,…,n

Двойственная задача линейного программирования в данном случае имеет вид:

m in (A₁y₁+A₂y₂ +…+A_my_m )

a₁₁y₁+a₂₁y₂+…+a_m1y_m-b₁₁y_m+1 – b₂₁y_m+2 -…-b_r1y_m+r0

a₁₂y₁+a₂₂y₂+…+a_m2y-b₁₁y_m+1 – b₂₂y_m+2 -…-b_r2y_m+r0

………………………….……………………………..

a_1ny₁+a_2ny₂+…+a_mny_m-b_1ny_m+1 – b_2ny_m+2 -…-b_{r n}y_m+r0

k₁ y_m+1 + k₂ y_m+2 +…+k_r y_m+r1

y_i0

i=1,2,…,m+r.

Далее необходимо обратиться к следующей теореме линейного программирования:

Если какое-либо ограничение исходной задачи линейного программирования выполняется как строгое неравенство, то соответствующая переменная в двойственной задаче равна 0.

Справедлива и обратная теорема.

Если оптимальный план удается построить в рамках данной модели, то последняя система математических соотношений называется принципом оптимальности плана.

Равенство k₁y_m+1 + k₂y_m+2 +…+k_ry_m+r может быть условием проверки, так как k₁,k₂,…,k_r известны.

Также важно, что целевые функции прямой и двойственной задач равны:

max Z=min (A₁y₁+A₂y₂ +…+A_my_m ).