1.2. Розвиток поняття натурального числа

Розглядаючи питання формування поняття натурального числа в дітей, треба мати чітке уявлення про розвиток цього поняття в істо­ричному аспекті—філогенезі. Вивчення історії математики, зокрема періоду зародження математики, дає можливість зрозуміти основні закономірності виникнення перших математичних понять про мно­жину, число, величину, про арифметичні дії, системи числення та ін. і використовувати ці закономірності з урахуванням передового педа­гогічного досвіду і сучасних досліджень з різних проблем навчання дітей математиці.

Як показують наукові дані з історії математики, поняття натураль­ного числа виникло на ранніх стадіях розвитку людського суспільства, коли в зв'язку з практичною діяльністю виникла потреба кількісно оцінювати сукупності. Спочатку кількість елементів у множинах не відокремлювалася від самих сукупностей, сприймалася й утримува­лася в уявленнях людини з усіма якостями, просторовими й кількіс­ними ознаками. Людина не тільки оцінювала сукупність стосовно її підісності (всі чи не всі предмети є), а могла сказати, яких саме пред­метів не вистачає. Часто сукупність утримувалася в уявленнях саме і<>му; що окремі предмети чітко відрізнялися за своїми ознаками.

Отже, на цій стадії розвитку поняття числа являло собою окремі чікла-властивості й числа-якості конкретних сукупностей предме­ті. У наш час не існує народів, рахунок яких зупинився б на першій с илії: чисел-властивостей.

і розвитком соціально-економічного життя суспільства, людині юводилося не тільки сприймати готові сукупності, а й створювати » о купності визначеної кількості. Для цього предмети визначеної су- і міпості зіставлялися по одному безпосередньо з предметами іншої

• Vкупності чи опосредовано за допомогою деякого еталона (камін­ців, вузликів, частин тіла людини та ін.) Потім за допомогою такого і. вставлення створювалася нова сукупність. Так практично людина опановувала операцією встановлення рівності, взаємо-однозначної відповідності.

Істотним у цьому процесі є те, що різні величини приводяться ВІД­ПОВІДНО до однієї стандартної множини, наприклад, з визначеною кількістю частин тіла людини. Це й було необхідною передумовою переходу до рахунку. Однак число, як загальна властивість рівночи-

• ель них множин, ще не сприймалося. Людина не називала число, а творила: «стільки, скільки пальців на руці і т.д. Цей період в історії ро івитку натурального числа називається стадією лічби на пальцях .іоо ручна лічба.

На цій стадії рахувати починали з мізинця лівої руки, перебирали всі пальці, потім переходили до зап'ястя, ліктя, плеча і т.д. до мізинця правої руки, після чого, якщо сукупність не вичерпувалася, то йшли в іворотному порядку. В острів'ян Торресової протоки за допомогою окремих частин на людському тілі можна було рахувати до 33-х. Якщо і Vкунність мала більше 33-х елементів, то використовували інші за­соби, наприклад — палички. Саме в цьому випадку, коли вичерпу­валася можливість використовувати частини тіла, починали корис- іуватися паличками (причому, всі палички майже однакові). Це дає нам ключ до розуміння'початкового призначення такої «живої шка­ли». Ймовірно, вона спочатку була потрібна не для індивідуалізації чисел, виділення кожного окремого числа, а лише для порівняння, встановлення взаємнооднозначної відповідності між предметами обох сукупностей.

Число сприймалося як те «загальне», що мають між собою рівно- чисельні сукупності. Незважаючи на примітивність цього способу лічби, він зіграв виняткову роль у розвитку поняття числа. Істотною рисою цього способу є те, що всі перелічувані множини відобража­ються за допомогою однієї системи, приведеної з ними у відповід­ність.

Видатний вчений і мандрівник М.М.Миклухо-Маклай (1846- 1888) описав лічбу папуасів — жителів Нової Гвінеї так: улюблений спосіб лічби полягав у тому, що папуас загинав один за одним паль­ці руки й при цьому вимовляв наприклад, «бе, бе, бе,. дорахувавши до 5, він говорить «ібон-бе» (рука), потім він загинає пальці другої руки, знову повторював «бе, бе, бе,..», поки не дійде до «Ібон-Алі» (дві руки); тоді він іде далі, поки не дійде до «Самба-Алі» (дві ноги). Якщо треба рахувати далі, то папуас користувався пальцями рук і ніг кого-небудь другого.

У процесі розвитку суспільства доводилося перераховувати все більше й більше сукупностей, просте встановлення рівночисельності й рахунку на пальцях уже не могло задовольнити нових потреб сус­пільства — обмеження ряду чисел не давало змоги здійснювати лічбу великих сукупностей.

Наступний етап розвитку рахунку й поняття натурального чис­ла зв'язаний із зародженням системи чмслення, що спирається на угрупування предметів при лічбі. Нову систему лічби можна назвати груповою чи рахунком за допомогою чисел-сукупностей. Ідея рахувати групами була підказана самим життям: деякі предмети завжди зустрі­чаються на практиці постійними групами (парами, трійками, десят­ками, п'ятірками).

У тубільців Флориди «на-куа» означає 10 яєць, «на-банара» — 10 кошиків з їжею, але окремо «на», якому б відповідало число 10, не використовується. На одному з діалектів індіанців західної частини Канади слово «тха» означає три речі, «тхе» — 3 рази, «тха-тоєн» — у трьох місцях та ін. Проте слова, яке позначало б абстрактне число З, там немає. Наявність у визначених сукупностях саме цієї частини по- казус, що люди вже починають помічати й відображати в своїй мові групи, які мають загальні властивості. На цій стадії розвитку рахунка не кожній групі приписується число, а тільки групи, які є числами- сукупностями, що часто зустрічаються в господарській або іншій ді­яльності племені.

Числа-сукупності стали прообразами наших вузлових чисел. Цей період розвитку числових уявлень пережило все людство. В усіх мо­нах, і в слов'янській теж, є такі граматичні форми, як однина, двоїна та множина. Слово, що означає кількість, має різне значення залеж­но від того, що йдеться: про одну, дві чи більшу кількість предметів. У деяких мовах є особлива форма троїни. Ці мовні форми — пережит­ки тієї віддаленої епохи розвитку, коли люди засвоїли тільки числа «один», «два», і «три».

В результаті обміну предметами одна з груп предметів стає мірою для інших, тобто своєрідним еталоном. З цієї групою починають по­рівнюватися й інші. Застосування міри для порівняння різних груп привело поступово до того, що люди почали усвідомлювати кількіс­ну сторону цієї групи. Кількісна характеристика групи предметів по­ступово здобула самостійного значення. Так виникло поняття числа і його назви, тобто виникло поняття про конкретні числа. Ці числа використовувалися, насамперед, для практичних цілей людей ра­хунку худоби, шкір та ін. Поступово числа почали використовува­тися для раховування елементів конкретних множин. Так виникло слово-число «сорок». У російських легендах йому належить особлива роль. Корені слова сорок або сорочок , ідентичний слову «сорочка», оскільки на шубу йшло 40 соболів. Відомо, що соболині шкури віді- і равали роль одиниці цінності. Сорок чи «сорочок» соболів складали цілу шубу і також були одиницею цінності.

Перші числа були своєрідними «островами», визначеними орієн- шрами в лічбі. Лічба здійснювалася п'ятірками, десятками, дюжи­нами деяких предметів, тобто числа-сукупності минулого є вузлови­ми числами, ця назва закріпилася в арифметиці. Вузлові числа — це числа, які мають індивідуальні назви і не розкладаються на складені числа. Інші числа називають алгорифмічними. Вони виникли набага- ю пізніше та інакше. Алгорифмічні числа з'явилися в результаті ариф­метичних операцій з вузловими числами.

У багатьох мовах для назв алгорифмічних чисел використову­ють спеціальні слова-класифікатори для характеристики визна­ченого способу дір з конкретною множиною. Так, у мові індіан­ців Північної Америки, а також племен Британської Колумбії перелік перших двох десятків предметів не супроводжується цими словами-класифікаторами. А рахунок наступних "одиниць словесно оформляється як результат дії. Наприклад, число 26 позначається так: «на двічі десять я ставлю ще шість». Слова-класифікатори не супроводжують числам до десяти. Таким чином, ці терміни існують лише для того, щоб розміщати по розрядах одиниці, що йдуть за де­сятками, але не самі десятки.

Операції з числами спочатку були не арифметичними, а руховими. Сліди цього збереглися в багатьох мовах, зокрема й в російській мові. Так, числа від одинадцяти до дев'ятнадцяти вимовляються як відпо­відне число одиниць, покладених на десять: один на десять, пять на десять і т.д. При цьому частку «на» слід розуміти як «покладене на». Пізніше виникли арифметичні операції.

Поступово визначився послідовний ряд натуральних чисел. Осно­вну роль у створенні алгорифмічних чисел відігравала операція до­давання (додатка), хоча іноді використовувалося й віднімання, ще рідше — множення. Особливо це спостерігається в римській нуме­рації: VI =5+1; ХС = 100-10 і т.д. Утворення алгорифмічних чисел на основі використання арифметичних операцій знайшло відображен­ня в назвах деяких чисел в українській, білоруській, французькій та іншій мовах.

Однак, числовий ряд на цій стадії ще не був однорідним і не­скінченним. Довгий час він був обмеженим (кінцевим). Останніми числами в ряді були і 3, і 7, і 12, і 40 та ін. Найбільш засвоєне число натурального ряду, що межувало з нескінченністю, часто здобувало особливий ореол незвичайного і, мабуть, було основою для виник­нення заборон, зв'язаних з цими числами. (Деякі з цих повір'їв збе­реглися дотепер). Такими числами були: 7, 13, 40 та ін.

Число 40 у легендах багатьох східних народів відіграє особливу роль. Вислів «сорок сороков», який часто використовувався в російській мові, є позначенням дуже великого, нескінченно великого числа.

Що стосується рахунка сороками, є ще одне припущення, яке по­ходить від лічби по суглобах пальців. Сибірські звіролови рахували не ніким пальцем по два суглоби інших чотирьох пальців. Таким чи­ном, дораховували до сорока. Використання третього суглоба в цьо­му процесі вважалося незручним.

Поступово вузлові й алгорифмічні числа заповнювали ряд, який ' нескінченним. Натуральних чисел нескінченно багато, серед них не мас найбільшого. Яке б велике число ми не взяли, якщо додамо до нього одиницю, то отримаємо ще більше число. Ця нескінченність числового ряду створює значні труднощі в логічному осмисленні ■ ірифметики.