5 Завдання для індивідуальної роботи студента

Розділ 1 Випадкові події

Тема : Емпіричні та логічні основи теорії ймовірностей

Запитання для самоперевірки:

1. Надайте означення події та вкажіть види елементарних подій Що називають простором елементарних подій?

2. Як символічно позначаються випадкові події? Протилежні події?

3. Сформулюйте класичне означення ймовірності подій та запишіть формулу для її обчислення

4. Окресліть межі Р(А)

5. Які події вважають протилежними? Напишіть тотожність суми ймовірностей протилежних подій

6. Надайте означення та запишіть формулу для обчислення комбінацій (сполучення)

7. Надайте означення та запишіть формулу для обчислення довільної комбінації елементів

0. 8. Складені події та операції над ними

1. 9. Відносна частота. Статистичне означення події

10. Геометричний підхід до обчислення ймовірності

11. Елементи комбінаторики.

Тема : Основні теореми теорії ймовірностей, їх економічна інтерпретація

Запитання для самоперевірки:

1. Яку подію називають складеною? Наведіть приклади.

2. Операції над подіями

3. Які події називають несумісними?

4. Теореми додавання ймовірностей та їх наслідки

5. Принцип практичної ймовірності, рівень значущості

6. Незалежні та залежні події, умовні ймовірності

7. Теореми множення ймовірностей та їх наслідки

8. Використання формул теорії ймовірностей для оцінювання надійності роботи простих систем

9. Формула повної ймовірності та умови її застосування. Наведіть приклади

10. Гіпотези. Формули Бейєса.

Завдання 1

Є N деталей серед яких М бракованих. З усієї кількості деталей навмання обрано n деталей. Визначити ймовірність того, що:

а) серед n відібраних деталей буде 2бракованих;

б) серед n відібраних деталей буде не більше ніж 2бракованих;

в) серед n відібраних деталей буде більше ніж 2 бракованих

№ варіанта	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
N	12	9	8	11	12	8	12	9	8	7
М	6	5	4	7	7	6	7	5	5	4
n	7	6	5	5	5	4	7	4	3	5

Приклад для розв’язування задачі

Приклад 1 Серед 12 деталей 8 бракованих. З усієї кількості деталей навмання обрано 6. Визначити ймовірність того, що:

а) серед 6 відібраних деталей буде 2 браковані;

б) серед 6 відібраних деталей буде не більш ніж 2 браковані;

в) серед 6 відібраних деталей буде більш ніж 2 браковані.

Розв'язання:

а) подія А - серед 6 навмання обраних деталей тільки 2 браковані. Імовірність події обчислюється за класичним означення ймовірності:

б) подія В - серед 6 навмання обраних деталей не більше ніж 2 браковані. Подія В складна, вона є сумою трьох несумісних подій:

- подія В₁ - серед 6 навмання обраних деталей жодної бракованої;

- подія В₂ - серед 6 навмання обраних деталей тільки 1 бракована;

- подія В₃ - серед 6 навмання обраних деталей тільки 2 браковані.

Тобто В = В₁+В₂+В₃

Так як події В₁, В₂, В₃ несумісні, то за теоремою про додавання ймовірностей несумісних подій, маємо: Р(В)=Р(В₁)+Р(В₂)+ Р(В₃).

- Ймовірність неможливої події, тік як у партії всього 4 не бракованих і відібрати серед них 6 і відповідно 5 бракованих неможливо.

в) подія С - серед 6 навмання обраних деталей більш ніж 2 браковані. Події В і С

протилежні, а за наслідком до теореми додавання Р(А) + Р(Ā) = 1,

тоді Р(С)+Р(В)=1 і

Відповідь: Р( А) = ; Р(В) = ; Р(С) =

Тема : Схема незалежних випробувань

Запитання для самоперевірки:

1. Які випробування називають незалежними?

2. Які теореми та формули застосовують при обчисленні ймовірностей в задачах на повторні незалежні випробування?

3. Коли застосовується формула Бернуллі? Запишіть її

4. Коли застосовують граничні теореми Бернуллі?

5. Сформулюйте інтегральну теорему Лапласа

6. Знайдіть значення функції Лапласа для аргументу х = 1,25

7. Знайдіть значення Ф(-1,25)

8. Коли застосовується локальна теорема Лапласа?

9. Знайдіть значення функції Гаусса для аргументу х = 3,12

10. Знайдіть значення φ (-2,76)

11. Коли застосовується формула Пуассона? Запишіть її

Завдання 2

Проводиться n незалежних випробувань. Ймовірність появи події в кожному випробуванні дорівнює р. Знайти ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях подія з'явиться не менше k₁ раз і не більше k₂ раз

№ варіанта	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
n	100	200	300	350	100	100	200	400	300	100
p	0,2	0,4	0,6	0,7	0,64	0,2	0,4	0,8	0,6	0,64
k1	15	120	150	300	60	80	120	200	150	80
k2	50	140	180	320	80	90	150	220	180	90

Приклад для розв’язування задачі

Приклад 2 . Проводиться 400 незалежних випробувань. Ймовірність появи події в кожному випробуванні дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що серед вказаного числа випробувань подія з'явиться не менше 300 разів і не більше 320.

Розв'язання:

Інтегральна теорема Лапласа надає можливість обчислення ймовірності того, що в п випробуваннях подія А з'явиться не менше k₁ і не більше k₂ разів.

P_n(k₁;k₂)= Ф(х₂)-Ф(х₁), де

і значення функції Лапласа Ф(х) обирається за таблицею:

Р₄₀₀(300;320)=Ф(0)-Ф(-2,5)=Ф(2,5)=0,49379

Відповідь: Р₄₀₀ (300,320)=0,49379

Розділ 2 Випадкові величини

Тема : Закони розподілу та числові характеристики випадкових величин. Випадкові величини та їх економічна інтерпретація

Запитання для самоперевірки:

1. Надайте означення дискретної випадкової величини

2. Назвіть характеристики дискретної випадкової величини та надайте формули для їх обчислення

3. Як будується інтегральна функція розподілу дискретної випадкової величини?

4. Надайте означення неперервної випадкової величини

5. Назвіть характеристики неперервної випадкової величини та надайте формули для їх обчислення

6. Диференціальна функція розподілу (щільність, густина) та її властивості

7. Назвіть розподіли дискретної випадкової величини.

8. Назвіть розподіли неперервної випадкової величини.

9. Наведіть формули обчислення математичного сподівання, дисперсії та середнього квадратичного відхилення неперервної випадкової величини рівномірного закону розподілу.

Завдання 3

По заданому закону розподілення дискретної випадкової величини знайти її:

а) математичне очікування;

б) дисперсію і середнє квадратичне відхилення;

в) ймовірність того, що X прийме значення, що належить інтервалу (a;b).

Варіант 1

X	2	4	5	7
p	0,3	0,4	0,2	0,1

a=3, b=6

Варіант 2

X	1	3	6	10
p	0,1	0,3	0,35	0,25

a=2, b=8

Варіант 3

X	1,5	2,0	2,5	3,0
p	0,2	0,5	0,2	0,1

a=1, b=2,75

Варіант 4

X	6	9	10	12
p	0,5	0,1	0,2	0,2

a=5, b=15

Варіант 5

X	10	12	15	20
p	0,5	0,1	0,2	0,2

a=14, b=22

Варіант 6

X	6	9	15	16
p	0,6	0,1	0,2	0,1

a=5, b=14

Варіант 7

X	2	5	8	12
p	0,5	0,2	0,1	0,2

a=4, b=10

Варіант 8

X	1	2	4	7
p	0,4	0,15	0,25	0,2

a=3, b=8

Варіант 9

X	1,5	10	12,5	15
p	0,1	0,2	0,3	0,4

a=8, b=14

Варіант 10

X	3	5	8	10
p	0,2	0,1	0,5	0,2

a=4, b=12

Приклад для розв’язування задачі

Приклад 3. По заданому закону розподілення дискретної випадкової величини:

Х	6	8	10	12
Р	0,5	0,1	0,2	0,2

Знайти:

а) математичне очікування;

б) дисперсію і середнє квадратичне відхилення;

в) ймовірність того, що Х прийме значення, що належить інтервалу (5;15).

Розв’язання:

Математичне сподівання:

М(Х)=6*0,5+8*0,1+10*0,2+12*0,2=3+0,8+2+2,4=8,2

Дисперсія випадкової величини D(Х)=М(Х²)-(М(Х))²

Х2	36	64	100	144
Р	0,5	0,1	0,2	0,2

М(Х²)=36*0,5+64*0,1+100*0,2+144*0,2=18+6,4+20+28,8=73,2

(М(Х))²=(8,2)²=67,22; D(Х)=73,2-67,22=5,98

Середньо квадратичне відхилення Ơ(Х) =

Побудуємо інтегральну функцію розподілу

За властивістю (5) F(b)-F(a)=P(a ≤ X ≥ b),тоді ймовірність того випадкова величина Х прийме значення з інтервалу (5;15) буде

Р(5<Х<15)=F(15)-F(5)=1-0=1,

так як за інтегральною функцією розподілу F(x≤6)=0; F(х>12)=1

Відповідь: M(X) = 8,2; D(X) = 5,98;

Завдання 4

Неперервна випадкова величина X задана інтегральною функцією розподілення:

Знайти:

1. Замість крапок треба надати аналітичний запис лінійної залежності ймовірності, використавши рівняння прямої, яка проходить через дві дані точки з координатами(а; 0); і (в;1).

2. Диференціальну функцію f(x)

3. Побудувати графіки F(X) і f(x)

4. Математичне очікування

5. Дисперсію і середнє квадратичне відхилення

6. Ймовірність того, що X набуває значення із інтервалу (c;d)

№ варіанта	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
а	1	2	3	4	1	2	3	4	5	6
в	5	8	7	10	7	6	8	9	12	11
с	2	3	4	5	2	3	5	6	6	7
d	4	7	6	8	6	5	7	8	10	9

Вказівки до розв′язання

Приклад 4. Складіть інтегральну функцію розподілу за умовами задачі, якщо А(4;0); В(10;1).

Розв’язання:

1.Рівняння прямої, яка проходить через дві дані точки А(х_А;у_А) і В(х_В;у_В) визначається за формулою: .

Згідно з умовою задачі А(4;0); В(10;1): .Згідно основної властивості пропорції маємо: х-4=6у; , тобто інтегральна функція розподілу F(x) у даному обчисленні дорівнює значенню у , тобто: , на інтервалі 4<х≤10, а інтегральна функція розподілу задається аналітично: .

2.Встановити до якого розподілу належить дана функція і скористатися спрощеними формулами обчислення математичного сподівання, дисперсії та середнього квадратичного відхилення неперервної випадкової величини.

Тема : Багатовимірні випадкові величини

Запитання для самоперевірки:

1. Поясніть значення терміну «двовимірна випадкова величина»

2. Як утворюються ряди розподілу складових за матрицею розподілу системи (Х; У)

3. Сформулюйте означення функції розподілу системи двох випадкових величин

4. Надайте означення кореляційного моменту. Що він характеризує? Що називають коваріацією системи?

5. Що характеризує коефіцієнт кореляції? Наведіть формулу для його обчислення

6. Надайте аналітичний запис та геометричну інтерпретацію функції розподілу двовимірної випадкової величини

7. Вкажіть властивості функції розподілу двовимірної випадкової величини

8. Назвіть властивості щільності функції розподілу двовимірної випадкової величини

Завдання 5

Систему дискретних випадкових величин(Х; Y) задано матрицею розподілу. Знайдіть :

1. ряди розподілу складових Х і Y;

2. математичні сподівання та середні квадратичні відхилення складових;

3. кореляційний момент та коефіцієнт кореляції системи

Варіант 1 Варіант 6

Y X	0	1	2	4		Y X	1	3	4	5
0,1	0,2	0,1	0,05	0		1	0,1	0,05	0,05	0
0,2	0,05	0,1	01	0,05		2	0,05	0,2	0.1	0,15
0,3	0	0	0,15	0,2		3	0	0,05	0,05	0,2

Варіант 2 Варіант 7

Y X	-2	-1	0	2		Y X	-3	-2	-1	0
3	0	0,05	0,15	0,2		-0,5	0,2	0,1	0,05	0
4	0	0,1	0,1	0,1		-0,3	0,05	0,15	0,15	0
5	0,2	0,05	0,05	0		-0,1	0	0,05	0,05	0,2

Варіант 3 Варіант 8

Y X	0,1	0,2	0,4	0,5		Y X	-1	0	2	4
0	0,3	0,1	0,05	0		0,2	0	0,05	0,1	0,2
1	0,05	0,1	0,05	0		0,4	0,05	0,1	0,15	0
2	0	0,05	0,1	0,2		0,6	0,25	0,05	0,05	0

Варіант 4 Варіант 9

Y X	0	0,2	0,4	0,6		Y X	0,6	0,4	0,2	0,1
-2	0	0,05	0,1	0,15		-1	0	0,05	0,1	0,1
-1	0,05	0,15	0,15	0,05		0	0,05	0,3	0,2	0
1	0,15	0,1	0,05	0		2	0,1	0,05	0.05	0

Варіант 5 Варіант 10

Y X	-0,3	-0,2	-0,1	0		Y X	-1	0	1	2
-3	0	0,05	0,05	0,3		-1	0,012	0,004	0,17	0,.002
-2	0,05	0,1	0,2	0		0	0,07	0,13	0,23	0,35
-1	0,1	0,05	0,1	0		2	0,002	0,03	0,045	0,055

Приклад для розв’язування задачі наведено у навчальному посібнику {1} № 43

на с.86-89

Тема : Функції випадкового аргументу

Запитання для самоперевірки:

1. Сформулюйте означення функції одного випадкового аргументу

2. Сформулюйте означення функції двох випадкових аргументів

3. Які події називають незалежними?

4. Наведіть теорему добутку незалежних подій

5. Сформулюйте теорему додавання несумісних подій

6. Як дістати щільність розподілу?

7. За якими формулами обчислюється щільність розподілу двох випадкових величин?

8. Наведіть алгоритм визначення закону розподілу функцій двох неперервних випадкових величин

9.Числові характеристики функцій випадкових аргументів.

Тема : Граничні теореми теорії ймовірностей

Запитання для самоперевірки:

1. Що називають законом великих чисел? Який зміст має ця назва?

2. В чому полягає центральна гранична теорема Ляпунова?

Наслідком яких теорем є інтегральна теорема Лапласа?

3.Сформулюйте нерівності Чебишова

4.Сформулюйте теорему Чебишова

5.Сформулюйте теорему Бернуллі

Завдання 6

Річна виручка авіакомпанії від перевезення пасажирів – випадкова величина з середнім значенням 200млн.грн. і стандартним (середнім квадратичним) відхиленням 20 млн.грн.

Знайти :

а) оцінку ймовірності того, що в наступному році авіакомпанія матимсе виручку не менше за 220 млн.грн.;

б) оцінку ймовірності того, що виручка міститиметься в межах від 180 до 220 млн.грн.;

в) в який межах з імовірністю не меншою за 0,95, можна очікувати виручку в наступному році.

Приклад для розв’язування задачі наведено у навчальному посібнику {2} № 2.25

на с.133

Тема : Елементи теорії випадкових процесів і теорії масового обслуговування

Запитання для самоперевірки:

1. Що називають потоком подій? Надайте приклади

2. За якими властивостіми потік вважають найпростішим?

3. За якою формулою обчислюють ймовірність того, що за проміжок часу t подія А настане m раз?

4. Надайте означення випадковому процесу. Назвіть характеристики випадкового процесу

5. Що називають нормованою кореляційною функцією випадкового процесу

6. Надайте основні поняття теорії масового обслуговування

7. Надайте основні поняття марківського процесу

Розділ 3 Математична статистика

Тема : Первинне опрацювання статистичних даних

Запитання для самоперевірки:

2. Надайте визначення генеральної та вибіркової сукупності

3. Надайте означення варіанті, варіаційному ряду, частоті, відносній частоті варіант.

4. Дайте означення дискретного статистичного розподілу вибірки і вкажіть його характеристики

5.Що називається інтервальним статистичним розподілом вибірки?

6.Назвіть характеристики інтервального статистичного розподілу та надайте формули для їх обчислення

7.Що являє собою полігон частот і відносних частот? Гістограма частот і відносних частот?

8.Асіметрія і ексцес статистичного розподілу вибірки

9.Що називається емпіричною функцією (комулятою)? Властивості комуляти.

Завдання 7

Для варіантів; 1, 3, 5, 7, 9:

Відсоток виконання плану підприємства за рік та кількість підприємств, що виконують цей план, наведено у вигляді інтервального статистичного розподілу:

хі , % h = 10 %	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80	80-90	90-100	100-110	110-120
nі	2	6	13	16	25	12	10	8	5	3	1

Потрібно:

1. Побудувати гістограму відносних частот і комуляту F* (х).

2) Обчислити , , E*_{s ,} A*_s ,М*₀, М*_e

Для варіантів: 0, 2, 4, 6, 8:

Кількість виготовлення полотна за зміну х_і ткачами наведено у формі інтервального статистичного розподілу:

хі , м h = 10	52,8-62,8	62,8-72,8	72,8-82,8	82,8-92,8	92,8-102,8	102-112,8	112,8-122,8	122,8-132,8	132,8-142,8
nі	8	12	25	39	26	18	12	9	4

Потрібно:

1) Побудувати гістограму відносних частот і комуляту F* (х).

2) Обчислити , , E*_{s ,} A*_s ,М*_о, М*_e

Приклад для розв’язування задачі наведено у навчальному посібнику [4] приклади на с. 6 -7, 9-10, 11-12, 13-15 , 15-19

Тема : Статистичне оцінювання параметрів розподілу

Запитання для самоперевірки:

2.Що називають вибірковою оцінкою параметра?

3.Яка статистична оцінка називається точковою?

4.Охарактеризуйте точкові статистичні оцінки

5.Чим відрізняється точкове і інтервальне оцінювання?

6.В чому полягає метод максимальної правдоподібності?

7.В чому полягає метод моментів?

8.Сформулюйте поняття довірчого інтервалу

9.Що називають довірчими межами оцінюваного параметру?

10.Які значення надають довірчій ймовірності (надійності)?

11.Наведіть приклад схеми побудови довірчого інтервалу для невідомого параметра нормально розподіленої ознаки Х

12.Як знайти значення аргументу t?

Завдання 8

За умовою Завдання 7 знайти довірчий інтервал для невідомого математичного сподівання, припускаючи, що ознака Х розподілена за нормальним законом і надійність γ надається :

Варіанти 1, 2, 3, 4	Варіанти 5,6,7	Варіанти 8,9,10
γ = 0,95	γ = 0,9	γ = 0,99

Приклад для розв’язування задачі наведено у навчальному посібнику [2] приклад № 3.5 на с. 204-205

Тема : Статистичне оцінювання параметрів розподілу

Запитання для самоперевірки:

1. Що називають статистичною гіпотезою? Наведіть приклади статистичних гіпотез

2. Яку гіпотезу називають нульовою (основною), конкуруючою (альтернативною)?

3. Які помилки можуть бути при перевірці статистичної гіпотези?

4. Назвіть осноний принцип перевірки стистичних гіпотез

5. Які розрізняють критичні області?

6. Перевірка гіпортези про математичне сподівання нормально розподіленої сукупності

7. Перевірка гіпортези про дисперсію нормально розподіленої сукупності

8. Перевірка гіпотези про істотність різниці математичних сподівань двох нормально розподілених сукупностей

Завдання 9 Дві аудиторські фірми проводять моніторинг банків щодо надання іпотечних кредитів населенню. Попередні відношення банків до іпотеки наведені в таблиці:

Банки Аудит	Кількість відповідей
	надавати	не надавати	не визначились
Аудит 1	18	28	6
Аудит 2	33	40	19

За рівнем значущості α = 0,10, встановити залежність відношення банків

від ставлення до аудиторської фірми.

Приклад для розв’язування задачі наведено у навчальному посібнику [2] задача № 3.15на с.162

Тема : Статистичні методи аналізу стохастичних залежностей:

елементи дисперсійного аналізу, елементи теорії кореляції,

елементи теорії регресії

Запитання для самоперевірки:

1. Що вимірює коефіцієнт кореляції?

2. Яку залежність називають статистичною залежністю ознаки Х від ознаки У?

3. Яку залежність називають статистичною залежністю ознаки У від ознаки Х?

4. Що називають регресією Х на У ?

5. Що називають регресією У на Х ?

6. Графіки яких функцій називають кривими регресії?

7. Запишіть рівняння прямої регресії з невідомими параметрами β₀ і β₁

8. В чому полягає метод найменших квадратів для визначення параметрів функції нелінійної регресії?

9. Яка основні мета дисперсійного аналізу? Які є види дисперсій?

10. Що характеризує загальна дисперсія? Що показує міжгрупова дисперсія?

Завдання 10

Знайти рівняння лінії регресії за даними таблиць згідно варіанту:

Варіант 1

Х = хі	44	43	42	41	40	39	38	37
У = уі	10	12	15	16	23	25	27	20

Варіант 2

Х = хі	30	35	38	41	48	50	55	17
У = уі	45	25	48	52	54	51	59	60

Варіант 3

Х = хі	30	25	31	32	38	41	40	46
У = уі	48	51	53	54	55	56	57	60

Варіант 4

Х = хі	15	16	17	18	19	20	21	22
У = уі	27	26	23	14	42	19	18	10

Варіант 5

Х = хі	17	52	12	18	51	34	24	11
У = уі	15	16	17	18	19	20	21	22

Варіант 6

Х = хі	27	26	23	14	42	19	18	13
У = уі	45	25	48	52	54	51	59	60

Варіант 7

Х = хі	48	51	53	54	55	56	57	60
У = уі	17	52	12	18	51	34	24	11

Варіант 8

Х = хі	2	6	8	4	30	61	32	15
У = уі	71	64	25	37	53	47	33	42

Варіант 9

Х = хі	14	51	28	47	24	58	18	41
У = уі	52	19	36	27	20	33	61	59

Варіант 10

Х = хі	34	23	28	16	45	56	29	30
У = уі	58	22	21	35	47	53	23	49

Приклад для розв’язування задачі наведено у навчальному посібнику [2] задача № 3.16 на с. 235-237