16. Розходження в поводженні моделі в. Леонтьєва при зміні структурних коефіцієнтів моделі.

Зміна структурних параметрів може призвести до якісно іншого розвитку системи, хоча параметри макромоделі збережуться.

Дослідження моделі Леонтьєва дозволяє зробити наступний висновок: на відміну від макроекономічної моделі, яка при нульовим споживанні завжди має допустиму траєкторію, траєкторія структурної моделі навіть при нульовому споживанні може бути недопустима внаслідок певних структурних параметрів.

Нехай екзогенно задана траєкторія споживання С (t) = С₀е^rt У цьому випадку рішення системи має вигляд:

де коефіцієнти dt визначаються виходячи з початкової умови:

Матриця являє собою структурний аналог коефіцієнта скалярної моделі

Визначимо, чи можливий в моделі при заданій траєкторії споживання зростання без обмеження

іншими словами, чи існують обмеження на темп r. Нехай у першому доданку домінує темп, відповідний корню Фробеніуса - Перрона: Нехай r > 1 / S Отже, У (t) все в більшій степені починає визначатися вектором

Позначимо

Узагальнюючи умова продуктивності, що забезпечується теоремою Фробеніуса - Перрона, для матриці В * отримуємо: r<1/S

У розглянутому випадку В * непродуктивна. Так як С0> 0, то отримуємо, що вектор (Е-В*) ^-1С0 містить негативні компоненти. Це означає, що рано чи пізно в Y (t) з'являться негативні компоненти і траєкторія вийде в неприпустиму зі змістовної точки зору область.

Таким чином, при наявності екзогенно заданої траєкторії споживання виду в структурній моделі існування допустимої траєкторії визначається співвідношенням r<1/S

Якщо домінує експонента з темпом, не відповідним темпом Фробеніуса - Перрона, то за результатами аналізу при С (t) = 0 траєкторія все одно вийде в неприпустиму зі змістовної точки зору область.

З'ясуємо, чи можливий в структурній моделі таке зростання, при якому всі складові елементи У ростуть з однаковим темпом.

Нехай споживання задано у вигляді C (t) = C0e^rt. У моделі , перший доданок представляє собою суму експонент, зростаючих з різними темпами, тому єдиний темп зростання можливий тільки у випадку, якщо перший доданок тотожно дорівнює нулю. Це можливо тільки, якщо всі d = 0. Запишемо у такому вигляді:

Звідси отримуємо систему рівнянь щодо r:

У загальному випадку ця система перевизначення. Таким чином, якщо відомbq початковj заданий стан економіки Y0, С0 і задані технологічні параметри, то не завжди можливе зростання з постійним темпом всіх галузей. Однак можна задати г0 і з останньої системи визначити С0 так, щоб розвиток йшов із заданим темпом.

17. Опишіть зміни капіталовкладень й інших показників у різних варіантах моделі Гудвіна.

В будь-який момент часу t економіка розпоряджається основним капіталом К, який включає заводи, устаткування і т. д. його обсяг змінюється зі швидкістю, рівної відношенню чистих капіталовкладень до загального зносу за даний період часу. Джерелом економічного прибутку є обсяг виробництва Y і споживання С. Ці величини зв'язані між собою співвідношеннями

де α і β- дійсні контрасти, такі, що α <0, β <С. З 1 рівняння видно, що між обсягом виробництва і споживанням існує лінійна залежність. 2 рівняння означає, що вся продукція, що випускається або споживається, або йде на розширення виробництва. Припустимо далі, що основним капіталом К управляють так, щоб підтримувати на рівні, пропорційному обсягу виробництва. Якщо R - бажаний рівень основного капіталу в момент часу t, то R = γY,

де γ - деякий параметр.

З рівнянь двох рівнянь випливає, що звідки

Періодичне поведінка величини У (або К) може виникнути як наслідок коливань в капіталовкладеннях К. У свою чергу, ці коливання виникають з прагнення зрівняти величини К і R (бажаний рівень основного капіталу). Нехай проводиться екстремальна політика капіталовкладень:

де К1 і К2 не залежать від часу t.

Розглядаючи останню формулу робляться висновки, що якщо основний капітал менше бажаного рівня, то умова системи відповідає максимальному рівню капіталовкладень (перша умова). Якщо ж бажаний рівень перевищений, то капіталовкладення нульові, а основний капітал амортизується зі швидкістю К2 (третя умова). Розумно припустити, що при максимальному рівні капіталовкладень швидкість, з якою можуть будуватися нові підприємства, більше швидкості амортизації і старіння, тобто К1>К2. Маємо систему:

Нехай R2 <К <R1, так що при t = 0 виконується R = R1. Тоді рівень капіталовкладень дорівнює k1>0, величина k зростає, а У залишається постійною до тих пір, поки не досягається рівність К = R1. Тоді R приймає значення R0, так як К = R. Тепер К = Rl>R=R0, а величина R миттєво стає рівною R2. Таким чином, К миттєво змінюється від величини k1 до -k2, a R - від R1 до R2. У той же самий момент різко падає обсяг виробництва. Тепер К убуває до величини R2. Аналогічне міркування показує, що R при цьому стає рівним R1, так що К=R2<R=R1, і величина К знову стає рівною k1.Основний капітал К знову зростає до R1 і цикл замикається . Таким чином, обидві величини – К та Y - відчувають коливання.

Описана модель добре відбиває економічний цикл. Під час періодів капіталовкладення обсяг виробництва високий і економіка знаходиться в періоді підйому. Коли ж капітал складання відсутній, обсяг виробництва падає, і економіка знаходиться в стані депресії. Однак у розглянутій моделі є багато недоліків. Так, скачки в капіталовкладення і миттєва реакція на них з боку обсягу виробництва Y не відповідають дійсності. Крім того, з умови k1= k2 випливає, що періоди спаду значно перевищують періоди підйому, що в реальності не спостерігається. Крім того, в моделі відсутній загальне зростання економіки, так як об’єми виробництва, основний капітал та інші показники періодично приймають колишні значення.