Розв’язування диференційних рівнянь макроекономічної динаміки.
Які типи катастроф існують у двовимірному випадку?
Катастофа складки
Найпростіша катастрофа виникає при потенціалі в формі
тоді,
коли параметр 
змінює
свій знак.
При 
динамічна
система з таким потенціалом не має
особливих точок і її рух інфінітний.
При будь-яких початкових умовах змінна
X, яка описується динамічним
рівнням: 
зменшуватиметься
з часом до мінус нескінченності.
У
випадку 
поведінка
системи залежатиме від початкових
умов. Якщо в початковий момент часу
змінна X була меншою за 
,
тоді вона й надалі зменшуватиметься з
часом до нескінченності. Якщо ж в
початковий момент часу змінна X була
більшою за
,
то з часом її значення прямуватиме до
точки 
,
яка є
атрактором для
системи.
Катастрофа
відбувається при зміні параметра
від
від'ємних значень до додатних для
системи, стан якої близький до точки 
.
При неперервній зміні параметра
,
як тільки він бодай трошки перевищить
нульове значення, рівноважний стан
системи перестає існувати і значення
змінної X «втікає» на мінус нескінченність.
Катастрофа зборки
Тривимірний графік залежності значення змінної в особливій точці від параметрів для цього типу катастрофи нагадує зборку (зморшку) на одязі, чому вона й завдячує назвою.
Потенціал V(X) для катастрофи зборки залежить від двох параметрів:
.
При такому потенціалі рух завжди фінітний, але кількість атракторів у залежності від значення параметрів може змінюватися від одного до двох.
При
додатних значеннях параметрів 
та 
система
завжди має єдину стійку особливу точку
X = 0. При від'ємних значеннях параметрів
існує область, в якій особливих точок
три. При цьому точка X = 0, втрачає
стабільність. Ця область параметрів
обмежена біфуркаційною
кривою.
Зміна стану системи, тобто катастрофа, відбувається тоді, коли значення параметрів перетинають цю криву.
Катастрофа ластівчин хвіст
В системах з однією змінною, але з трьома параметрами можлива ще складніша катастрофа, яка отримала назву ластівчиного хвоста. Потенціал для неї записується в формі
.
Інші катастрофи
Метелик
.
Гіперболічна омбіоліка
.
Еліптична омбіоліка
.
Параболічна омбіоліка
.
Стабільність і рівновага в динамічних системах.
Всяка динамічна система у будь-який момент часу характеризується своїм станом і напрямом руху. Система скоює рух або під впливом внутрішніх спонукальних причин, або в результаті впливу на неї зовнішнього середовища. Принципово різними є причини, що обумовлюють її рух, як в початковий момент часу, так і в подальші моменти.
Із станом системи пов'язане поняття рівноваги. Під рівновагою розуміється стан, що зберігається скільки завгодно довго за відсутності зовнішніх дій. Таким чином, рівноважний стан системи - це такий її стан, з якого система не вийде під дією тільки внутрішніх причин .
Якщо система не перебуває в стані рівноваги, то вона вчиняє ненульовий рух під впливом внутрішніх причин. При цьому можливо, звичайно, і зовнішній вплив на систему, проте першопричиною зміни її стану є саме внутрішні умови її існування.
Під впливом зовнішніх дій рівновага може бути порушене, і система перейде в інший стан. В цьому випадку в дію вступає друга характеристика динамічної системи — поведінка. Залежно від будови системи, властивостей її і становлячих її елементів поведінка може істотно розрізнятися. Принципово різними виявляються два варіанти розвитку подій після того, як на систему зробило деякий збурюючий вплив зовнішнє середовище: повернення в початковий стан (може бути при нескінченному періоді розгляду) і подальше видалення від початкового стану. Ці можливості описуються поняттям стійкості(стабільності).
Під стійкістю розуміється здатність системи повертатися в рівноважний стан у випадку, якщо вона була виведена з нього. У такому разі стан рівноваги називається стійким. Другому варіанту відповідає нестійкість стану і системи.
Таким чином, в заданий момент часу система може знаходитися в стані рівноваги, і у такому разі часто говорять про рівноважну систему, або знаходитися в стані нерівноваги (не рівноважна система). У свою чергу рівновага може бути стійкою і нестійкою і, відповідно, розділяють стійкі і нестійкі системи.
Поняття стійкості застосовується також і по відношенню до руху системи, а саме — як властивість системи мало відхилятися від заданої траєкторії руху при малих збурюючих впливах з боку зовнішнього середовища. У цьому значенні можна говорити про динамічну стійкість.
Складність і відвертість економічних систем пояснюють той факт, що рівновага і стійкість на практиці зустрічаються достатньо рідко. Проте ці поняття мають важливе значення для економічної теорії і дозволяють досліджувати внутрішні властивості систем.